11.3.4. Конкретные способы проверки остаточных ошибок

На практике мы не знаем точно параметров процесса и должны делать проверки по остаточным ошибкам, вычисленным после подгонки методом наименьших квадратов. Даже если функциональная форма подгоняемой модели адекватна, выборочные оценки параметров отличаются от истинных значений, и распределение корреляций остаточных ошибок  несколько отличается от распределения автокорреляций . Поэтому следует быть осторожным при использовании результатов предыдущего раздела для анализа корреляций остаточных ошибок. Краткое последующее рассмотрение основывается на более полном исследовании, приведенном в [84].

Проверка выборочных автокорреляций. Пусть после подгонки модели передаточной функций — шума методом наименьших квадратов и вычисления остаточных ошибок  с заменой параметров их оценками наименьших квадратов найдена выборочная автокорреляционная функция этих ошибок . Тогда, как мы уже видели,

а) заметные а регулярно меняющиеся значения функции  свидетельствуют о неадекватности модели;

б) если проверка автокорреляций не приводит к выявлению неадекватности модели передаточной функции, то эта неадекватность, вероятно, вызвана подогнанной моделью шума .

В последнем случае идентификация вспомогательной модели

для описания корреляции остаточных ошибок от первичной модели может в соответствии с (11.3.15) дать весьма приближенное представление

о виде модели шума, которую следует выбрать. Однако при вынесении суждений о том, указывает ли кажущееся отклонение выборочной взаимной корреляции от нуля на ненулевое теоретическое значение, нужно учитывать некоторые факты, аналогичные рассмотренным в разд. 8.2.1.

Положим, что после использования части ряда в качестве начальных значений  значений  можно включить в расчет. Тогда, если функциональный вид модели выбран правильно и в соответствующее уравнение подставлены истинные значения параметров, остаточные ошибки будут белым шумом и выборочные корреляции будут распределены взаимно независимо с нулевым средним значением и дисперсией . Когда вместо значений параметров подставляются их выборочные оценки, распределение корреляций с малыми задержками искажается. В частности, дисперсия выборочных корреляций с малыми задержками может быть значительно меньше , а их значения сильно коррелированы. Поэтому сравнение выборочной автокорреляции  при малых  со «стандартной ошибкой»  может создавать ложное впечатление о малости первой. Кроме того, всплески выборочной автокорреляционной функции при малых задержках могут происходить просто из-за высокой корреляции между выборочными оценками. Если амплитуда таких всплесков мала по сравнению с  они могут быть чисто случайными и не свидетельствовать о каком-либо реальном поведении теоретических автокорреляций.

Существует следующий способ проверки, учитывающий эти эффекты искажения распределения, вызываемые подгонкой. Рассмотрим первые  выборочных автокорреляций,  и пусть  будет достаточно велико, так что если записать модель в виде

,

то можно ожидать, что веса  при  окажутся пренебрежимо малыми. Тогда при адекватности функциональной формы модели величина

                                 (11.3.18)

распределена примерно как  с  степенями свободы. Заметим, что число степеней свободы  зависит от числа параметров в модели шума, но не зависит от числа параметров в модели передаточной функции. Сравнив значение  с таблицей уровней значимости , мы можем приближенно проверить гипотезу об адекватности модели.

Проверка выборочных взаимных корреляций. Как мы показали в предыдущем разделе,

1) появление регулярных заметно отличающихся от нуля выборочных взаимных корреляций  свидетельствует о неадекватности модели передаточной функции;

2) по другим свойствам взаимной корреляции можно выявить тип необходимых изменений. Конкретно, если подгоняемая передаточная функция  и мы рассматриваем взаимные корреляции между величинами  и  то весьма приближенные оценки расхождений  можно найти по формуле

.

Пусть предполагаемая функциональная форма модели верна и в уравнение подставляются истинные значения параметров. Остаточные ошибки будут белым шумом, не коррелированным с  и, согласно (11.1.11), дисперсия  для ряда с эффективной длиной  будет близка к . Однако в отличие от выборочных автокорреляций  эти взаимные корреляции будут приближенно не коррелированы. В общем случае, если  автокоррелированы, то и выборочные взаимные корреляции  также коррелированы. Как следует из (11.1.12), в предположении, что  и  взаимно некоррелированы, коэффициент корреляции между  и  равен

,                       (11.3.19)

Это означает, что приближенно выборочные взаимные корреляции имеют ту же автокорреляционную функцию, что и первоначальный входной ряд . Поэтому, если  автокоррелированы, абсолютно адекватная модель переходной функции будет приводить к выборочным взаимным корреляциям , хотя и малым по величине, но с заметной регулярностью поведения. Этот эффект будет устранен, если проводить проверку путем

вычисления выборочных взаимных корреляций  с предварительно выравненным входом .

Как и в случае автокорреляций, при подстановке выборочных оценок вместо истинных значений параметров, распределение выборочных взаимных корреляций искажается. Однако, исходя из амплитуд взаимных корреляций, можно выполнить грубую проверку гипотезы об адекватности модели. Для этого нужно оценить взаимные корреляции   между выравненным входом  и остаточными ошибками .  должно быть достаточно большим, чтобы веса  и  в (11.3 13) можно было бы принять пренебрежимо малыми при . Эффекты, вызванные использованием выборочных параметров при вычислении остаточных ошибок, как и ранее, ограничены в основном корреляциями при малых задержках, чьи дисперсии значительно меньше . Эти выборочные корреляции могут быть сильно зависимыми, даже если вход — белый шум.

Однако справедливо [84], что

                     (11.3.20)

приближенно распределено как  с  степенями свободы, где  — число параметров в подгоняемой модели передаточной функции. Заметим, что число степеней свободы не зависит от числа параметров в подгоняемой модели шума.