ПРИЛОЖЕНИЕ П10.1. НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ СО СКАЧКООБРАЗНЫМИ ВХОДАМИ

В разд. 10.3.1 (см. также рис. 10.9) было показано, что для скачкообразного входа выход любой запаздывающей непрерывной линейной системы

,

где  для , может быть выдан в дискретные времена  дискретным линейным фильтром

 ,

где веса  все равны нулю, а веса  определены как

,                                (П10.1.1)

,   ,                         (П10.1.2)

Пусть теперь динамика непрерывной системы описывается линейным дифференциальным уравнением -го порядка

,                   (П10.1.3)

которое можно представить в виде

 ,

где  могут быть действительными или комплексными. Покажем теперь, что для скачкообразного входа выход этой непрерывной системы дискретно совпадает с выходом дискретной модели разностного уравнения порядка  или порядка  при . При  , а для  в общем случае  не равно нулю и удовлетворяет дифференциальному уравнению

Отсюда

,  ,

откуда при помощи (П10.1.1) и (П10.1.2) получаем

,                                    (П10.1.4)

,          (П10.1.5)

Нужно заметить, что в частном случае, когда , веса  определены по (П10.1.2) для всех . Рассмотрим теперь модель разностного уравнения порядка

.                                (П10.1.6)

Если записать

 ,                                                                       

то дискретная передаточная функция для этой модели удовлетворяет уравнению

.                                        (П10.1.7)

Как было замечено в (10.2.8), приравнивая коэффициенты в (П10.1.7), мы получаем  нулевых весов  и, если , последующие  значений  не подчиняются общему ходу. Веса  будут при достаточно больших  удовлетворять уравнению

,   ,                                            (П10.1.8)

для которого  дают  требуемых начальных значений. Запишем теперь

,

где   — корни уравнения . Тогда решение (П10.1.8) имеет вид

,                            (П10.1.9)

,

где коэффициенты  выбраны так, что решения (П10.1.9) для  дают начальные значения . Обозначение  напоминает о том, что А — функции . Тогда, если принять , то для данных параметров  в (П10.1.6) и, следовательно, для данных параметров  существует соответствующий набор значений  , дающий соответствующие начальных значений . Далее нам известно, что . Отсюда

,                                                        (П10.1.10)

,                                                 (П10.1.11)

и мы можем приравнять значения весов в (П10.1.4) и (П10.1.5), полученных из дифференциального уравнения, и весов в (П10.1.10) и (П10.1.11), полученных из разностного уравнения. Для этого мы должны принять

,   ,

тогда остающиеся  уравнений

определяют  через  и .

При  мы полагаем , и для данных параметров  разностного уравнения существует набор значений  — функций , производящих  начальных значений . Их можно приравнять значениям (П10.1.5) для . Для этого полагаем

 ,      ,

и остальные  уравнений

определяют  через  и .

В общем для скачкообразного входа выход непрерывной динамической системы -го порядка, задаваемой уравнением

,                              (П10.1.12)

в моменты времени  равен выходу дискретной модели

,                                            (П10.1.1З)

порядка  с соответственно выбранными параметрами. Далее, если , выход непрерывной модели (П10.1.12) равен в дискретные моменты времени выходу модели (П10.1.13) порядка .

Введем теперь дискретную модель, соответствующую системе второго порядка с запаздыванием, для которой результаты разд. 10 3 2 можно получить как частные случаи.

Система второго порядка с запаздыванием. Пусть дифференциальное уравнение, связывающее вход и выход непрерывной системы, имеет вид

,                       (П10.1.14)

Тогда непрерывный импульсный отклик равен

,     (П10.1.15)

.

Для скачкообразного входа выход в дискретные моменты времени  связан с входом разностным уравнением

,         (П10.1.16)

с соответственно подобранными параметрами Разностное уравнение можно также записать как

или как

.   (П10.1.17)

Воспользовавшись (П10.1.1) и (П10.1.2) и подставив

,

получаем

 ,

.

Отсюда . Но из (П10.1.17) следует

 ,

откуда получаем

                  (П10.1.18)

и

                                                (П10.1.19)

Комплексные корни. Если  и  — комплексные величины, то с помощью подстановки

получим соответствующие выражения

  (П10.1.20)

где

                                       (П10.1.21)