11.3. ПОДГОНКА И ДИАГНОСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА МОДЕЛЕЙ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ

11.3.1. Условная сумма квадратов

Рассмотрим теперь задачу одновременного эффективного оценивания параметров  и

 пробно идентифицированной модели

,                (11.3.1)

где  — стационарные процессы, и

.                            (11.3.2)

Предполагается, что для анализа доступны  пар значений и что  и  ( и  если ) означают отклонения от их математических ожиданий. Эти ожидания могут оцениваться вместе с другими параметрами, но при обычно имеющемся числе наблюдений достаточно вместо них брать выборочные средние значения. Когда, то часто математические ожидания процессов  и  равны нулю.

Если доступны начальные значения , предшествующие началу ряда, то, по имеющимся данным, для любого набора параметров  и начальных значений  мы можем вычислить последовательно значения  для . В предположении о нормальном распределении для  хорошее приближение к оценкам максимального правдоподобия для параметров можно получить, минимизируя условную сумму квадратов

.       (11.3.3)

Трехэтапная процедура для вычисления . Если даны соответствующие начальные значения, генерировать ряд  для любого конкретного набора значений параметров можно при помощи следующей трехэтапной процедуры.

Прежде всего выход  модели передаточной функции можно получить из уравнения

,

т. е. из

или из

,                        (11.3.4)

Когда ряд  вычислен, то, пользуясь (11.3 1), можно найти значения шума  по формуле

,                                                               (11.3.5)

Наконец,  можно найти из (11.3.2), если представить эту формулу в виде

,                                                             

т. е.

.   (11.3.6)

Начальные значения. Как отмечалось в разд 7.1 3 в связи с оцениванием стохастических моделей, эффект переходных явлений можно минимизировать, если разностные уравнения применяются со значения ,  для которого все предшествующие  и  известны Таким образом,   в (11.3.4) вычисляется начиная с  и далее вперед, здесь  больше  и . Это означает, что  будет известно начиная с  и далее вперед; отсюда, если неизвестные  приравнять их безусловному математическому ожиданию, т. е. нулю, можно вычислить  начиная с . Тогда условная сумма квадратов равна

.           (11.3.7)

Пример с газовой печью. Для этих данных идентифицирована модель (11.2.20), а именно

,

Уравнения (11.3.4), (11.3.5) и (11.3.6) принимают вид

,   (11.3.8)

,                                                               (11.3.9)

.                                        (11.3.10)

Тогда можно использовать (11.3.8) для генерирования  с  вперед и (11.3.10) для генерирования  с  вперед. Вызванная этим небольшая потеря информации несущественна для достаточно протяженных рядов. Например, для данных о газовой печи , и потеря 7 значений в начале ряда практически несущественна. Для иллюстрации в табл. 11.3 показано вычисление первых нескольких значений  для кодированных данных о газовой печи при значениях параметров

,              ,         ,         ,

,       ,                 .

Значения  и  в колонках 2 и 4 получены вычитанием средних значений  и  из значений ряда, приведенных в сводке временных рядов в конце этой книги.

Ранее мы предполагали . Чтобы оценить его, можно вычислить значения  и , минимизирующие условную сумму квадратов, для каждого значения  в диапазоне его вероятных значений и найти истинный минимум по отношению к  и .

Таблица 11.3. Расчет нескольких первых значений  по данным газовой печи для значений параметров