10.2. ДИСКРЕТНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ, ОПИСЫВАЕМЫЕ РАЗНОСТНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ

10.2.1. Общая форма разностного уравнения

Дискретные динамические системы, соответствующие непрерывным системам типа (10 1.19), часто экономно описываются линейным разностным уравнением общего вида

,                       (10.2.1)

которое мы будем называть моделью передаточной функции порядка . Разностное уравнение (10 2.1) можно также записать при помощи оператора сдвига назад   в виде

,                      (10.2.2)

или как

.

Точно так же, если обозначить , модель принимает вид

.                                                                (10.2.3)

Сравнив (10 2.3) с (10.1.2), видим, что передаточная функция этой модели равна

.                                                            (10,2.4)

Таким образом, передаточная функция представима отношением двух полиномов от.

Динамика стохастических моделей АРПСС. Модель АРПСС

,

используемая для представления временного ряда , связывает  и  линейной операцией фильтрации,

,

где  — белый шум. Следовательно, модель АРПСС означает, что временной ряд можно и целесообразно представлять как выход динамической системы, входом которой служит белый шум, а передаточная функция может быть экономично представлена отношением двух полиномов от .

Устойчивость дискретных моделей. Требование устойчивости дискретных моделей передаточных функций вполне аналогично требованию стационарности стохастических моделей АРСС. В общем случае для устойчивости необходимо, чтобы корни характеристического уравнения

,

где  рассматривается как переменное, лежали вне единичного круга. В частности, отсюда следует, что для модели первого порядка параметр  удовлетворяет неравенствам

,

и для модели второго порядка (см., например, рис. 10.5), параметры ,  удовлетворяют неравенствам

Записав (10.2.2) развернуто как

,

мы замечаем, что, если  достаточно долго зафиксировано на значении +1,  достигнет значения

.                        (10.2.5)

Эта формула выражает установившееся усиление через параметры модели.