13.2.1. Вывод выражения для оптимальной корректировки

Пусть оптимальная корректировка, выраженная через , будет равна

,                   (13.2.4)

где

.

Тогда, обращаясь к рис. 13.3, мы видим, что ошибка выхода  определяется выражением

.                (13.2.5)

Коэффициент при  в этом выражении равен единице, так что можно записать

,              (13.2.6)

где

.

Далее, практически регулирование нужно выразить через наблюдаемые ошибки выхода , а не через , так чтобы регулирующее действие имело вид

.                       (13.2.7)

Приравнивая (13.2.5) и (13.2.6), получаем

.              (13.2.8)

Так как ,  и  – константы, можно стандартным образом найти безусловный минимум выражения

;                    (13.2.9)

здесь  и т. п. Точно так же, пользуясь производящими функциями, мы будем искать (безусловный) минимум коэффициента при  в выражении

,

или, в несколько ином виде, в

             (13.2.10)

где . Этот минимум мы можем найти, дифференцируя  по каждому  , выбирая коэффициенты при  в результирующем выражении, приравнивая их нулю и решая получившиеся уравнения. Имеем

                       (13.2.11)

Найдя коэффициенты при  для  и приравнивая их нулю, получаем уравнения

                 (13.2.12)

  (13.2.13)

.   (13.2.14)

Случай пренебрежимо малого . Рассмотрим сначала простейший случай, когда  пренебрежимо мало и может считаться нулем. Тогда приведенные выше уравнения принимают вид

,                  (13.2.15)

.                              (13.2.16)

Эти разностные уравнения имеют решения вида

,

где  и  – корни характеристического уравнения

,                        (13.2.17)

т. е.

.

Очевидно, если  – корень этого уравнения, то и  – тоже корень. Поэтому решение имеет вид . Если  по модулю меньше или равно 1, то  по модулю больше или равно 1, и так как  должно иметь конечную дисперсию,  должно быть равно нулю, а . Подставляя решение  в (13.2.15), находим, что .

Наконец, так как  и  и  должны быть действительными числами, корень уравнения  тоже действителен. Отсюда

,                     ,                   (13.2.18)

,                (13.2.19)

где . Тогда

,

так что

.                (13.2.20)

Из (13.2.8) при  получаем

.               (13.2.21)

Отсюда

и

.                  (13.2.22)

Из (13.2.7), (13.2.19) и (13.2.21) находим, что оптимальное регулирующее действие, выраженное через наблюденные ошибки на выходе , равно

,

т. е.

.                 (13.2.23)

Отметим, что уравнение регулирования с ограничением отличается от уравнения без ограничения в двух отношениях.

1. Вводится новый множитель , в результате чего текущее действие частично зависит от предыдущего.

2. Постоянная, определяющая долю интегрального регулирования, уменьшается в  раз.

Мы предполагали, что допускается увеличение дисперсии выхода до значения . Из (13.2.20) следует, что

,

т. е.

,

где берется положительное значение корня. Удобно ввести обозначение . Тогда  и , а дисперсия выхода имеет вид .

Допустим, что мы согласны на увеличение дисперсии выхода до значения . Тогда

1) вычисляем

,

2) оптимальное регулирование достигается при помощи действия

,

3) дисперсия входа может быть уменьшена до

,

т. е. уменьшится до  от дисперсии схемы без ограничения, где

.

В табл. 13.2 приведены значения  и  для , заключенного между 0,1 и 1,0.

Таблица 13.2. Значения параметров для простой схемы регулирования с ограничением

	0,10	0,20	0,30	0,40	0,50	0,60	0,70	0,80	0,90	1,00
	0,302	0,408	0,480	0,535	0,577	0,612	0,641	0,667	0,688	0,707
	53,7	42,0	35,1	30,3	26,8	24,0	21,9	20,0	18,5	17,2

Пусть, например, . Тогда оптимальная схема без ограничений будет требовать регулирующего действия

с . Дисперсия  равна . Пусть потребовалось понизить ее в 4 раза, т. е. до значения  . Из табл. 13.2 вытекает, что уменьшение дисперсии входа до 24% от его значения при отсутствии ограничений возможно при  и . Если мы используем схему с этими значениями, дисперсия выхода будет равна

.

Итак, применив регулирующее действие

вместо

,

мы уменьшаем дисперсию входа до четверти ее предыдущего значения, а дисперсия выхода увеличивается на 10%.

Случай, когда нельзя пренебречь . Рассмотрим теперь более общий случай, когда  непренебрежимо мало и необходимо учитывать динамику системы. Разностное уравнение (13.2.14) имеет вид

,

и если  – корень характеристического уравнения, то и  – корень того же уравнения. Пусть корни уравнения равны , причем  и  по модулю меньше единицы. Тогда в решении

 и  должны быть равны нулю, так как дисперсия  конечна.

Итак, решение имеет вид

,                 ,           .

Пользуясь начальными условиями (13.2.12) и (13.2.13), находим коэффициенты :

,                 .

Если обозначить , , то

                (13.2.24)

и

.              (13.2.25)

Подставляя (13.2.24) в (13.2.8), получаем

                    (13.2.26)

и

.

Тогда из (13.2.7) вытекает, что оптимальное регулирующее действие, выраженное через ошибку , имеет вид

               (13.2.27)

или

.                 (13.2.28)

Итак, в модифицированной схеме регулирования  зависит как от , так и от  (только от , если ); эта схема уменьшает стандартное интегральное и пропорциональное действие в  раз.

Дисперсии на выходе и входе. Легко найти фактические дисперсии на выходе и входе. Имеем

.

Второй член в правой части – смешанный процесс авторегрессии – скользящего среднего порядка , дисперсия которого без труда определяется как

.                    (13.2.29)

Далее,

.                     (13.2.30)

Вычисление  и . Для разностного уравнения (13.2.14) характеристическое уравнение имеет вид

,

где  и . Его можно также представить в виде

,

где

 и .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , находим

, т. е. ,

.

Отсюда , т. е.

,

.

При подходящих значениях  это квадратное уравнение имеет два действительных корня:

,             

. Искомая величина  – это меньший из корней квадратного уравнения

,

а  определяется из

.

Таблица оптимальных значений для схем с ограничением; способ построения. Для облегчения выбора оптимальной схемы регулирования можно пользоваться табл. 13.3. Табулированные значения для каждого заданного  – параметра модели передаточной функции – получены следующим путем.

Таблица 13.3. Таблица, облегчающая расчет оптимальных схем регулирования с ограничением

		20	40	60	80	10
0,9		21,7	11,3	6,7	4,5	3,1
		0,44	0,585	0,68	0,74	0,78
		0,18	0,27	0,34	0,39	0,44
0,8		22,0	11,7	7,2	4,8	3,4
		0,44	0,585	0,68	0,74	0,78
		0,18	0,27	0,33	0,38	0,43
0,7		22,7	12,4	8,0	5,6	4,1
		0,44	0,585	0,68	0,74	0,78
		0,17	0,25	0,32	0,36	0,40
0,6		24,1	13,6	9,0	6,6	5,0
		0,44	0,58	0,67	0,73	0,78
		0,16	0,24	0,29	0,33	0,365
0,5		26,5	15,5	10,5	7,9	6,2
		0,43	0,58	0,67	0,72	0,77
		0,15	0,21	0,26	0,29	0,32
0,4		28,5	17,7	12,7	9,8	7,9
		0,43	0,57	0,66	0,72	0,76
		0,13	0,18	0,22	0,245	0,265
0,3		31,5	20,5	15,2	12,0	9,9
		0,43	0,57	0,65	0,71	0,75
		0,105	0,145	0,17	0,19	0,20
0,2		34,8	23,6	18,0	14,5	12,2
		0,42	0,56	0,64	0,69	0,73
		0,07	0,10	0,12	0,13	0,14
0,1		38,2	26,7	21,0	17,3	14,6
		0,42	0,55	0,63	0,68	0,72
		0,04	0,05	0,06	0,065	0,07

1) Вычисляем

 и

для ряда значений , выбранных так, чтобы обеспечить нужный диапазон .

2) Вычисляем

и

.

3) Вычисляем

и

.

4) Вычисляем

.

5) Вычисляем

.

6) Значения , ,  для подходящих значений  находим интерполяцией.

Пользование таблицей. Табл. 13.3 нужно пользоваться следующим образом. В левом столбце находим нужное значение . Пользуясь тем, что , находим, что увеличение дисперсии выхода (в %) будет равно . Подходящее значение  находим в верхней строке. Итак, входными данными таблицы будут

а) , процентное уменьшение дисперсии ;

б) ;

в) .

Примем, например, , , . Уравнение оптимального регулирования без ограничений имеет вид

и . Предположим, что такая дисперсия входной переменной создает трудности при осуществлении производственного процесса, и желательно уменьшить  до , т. е. до 28% от значения дисперсии в схеме без ограничений. По табл. 13.3 находим, что значениям  и  соответствуют постоянные схемы регулирования , . Решение уравнения регулирования (13.2.28) принимает вид

.

Такое решение соответствует значению . Следовательно, дисперсия выхода увеличится в  раза, т. е. примерно на 7%.