13.2.1. Вывод выражения для оптимальной корректировки
Пусть
оптимальная корректировка, выраженная через
, будет равна
, (13.2.4)
где
.
Тогда,
обращаясь к рис. 13.3, мы видим, что ошибка выхода
определяется выражением
. (13.2.5)
Коэффициент
при
в этом
выражении равен единице, так что можно записать
, (13.2.6)
где
.
Далее,
практически регулирование нужно выразить через наблюдаемые ошибки выхода
, а не через
, так чтобы
регулирующее действие имело вид
. (13.2.7)
Приравнивая
(13.2.5) и (13.2.6), получаем
. (13.2.8)
Так
как
,
и
– константы, можно
стандартным образом найти безусловный минимум выражения
; (13.2.9)
здесь
и т. п.
Точно так же, пользуясь производящими функциями, мы будем искать (безусловный)
минимум коэффициента при
в выражении
,
или,
в несколько ином виде, в
(13.2.10)
где
. Этот
минимум мы можем найти, дифференцируя
по каждому
, выбирая коэффициенты при
в результирующем
выражении, приравнивая их нулю и решая получившиеся уравнения. Имеем
(13.2.11)
Найдя
коэффициенты при
для
и
приравнивая их нулю, получаем уравнения
(13.2.12)
(13.2.13)
. (13.2.14)
Случай
пренебрежимо малого
. Рассмотрим сначала простейший случай,
когда
пренебрежимо
мало и может считаться нулем. Тогда приведенные выше уравнения принимают вид
, (13.2.15)
. (13.2.16)
Эти
разностные уравнения имеют решения вида
,
где
и
– корни
характеристического уравнения
, (13.2.17)
т.
е.
.
Очевидно,
если
–
корень этого уравнения, то и
– тоже корень. Поэтому решение имеет
вид
. Если
по модулю
меньше или равно 1, то
по модулю больше или равно 1, и так как
должно
иметь конечную дисперсию,
должно быть равно нулю, а
. Подставляя решение
в (13.2.15),
находим, что
.
Наконец,
так как
и
и
должны быть
действительными числами, корень уравнения
тоже действителен. Отсюда
,
, (13.2.18)
, (13.2.19)
где
. Тогда
,
так
что
. (13.2.20)
Из
(13.2.8) при
получаем
. (13.2.21)
Отсюда
и
. (13.2.22)
Из
(13.2.7), (13.2.19) и (13.2.21) находим, что оптимальное регулирующее действие,
выраженное через наблюденные ошибки на выходе
, равно
,
т. е.
. (13.2.23)
Отметим,
что уравнение регулирования с ограничением отличается от уравнения без
ограничения в двух отношениях.
1.
Вводится новый множитель
, в результате чего текущее действие
частично зависит от предыдущего.
2.
Постоянная, определяющая долю интегрального регулирования, уменьшается в
раз.
Мы
предполагали, что допускается увеличение дисперсии выхода до значения
. Из (13.2.20)
следует, что
,
т. е.
,
где
берется положительное значение корня. Удобно ввести обозначение
. Тогда
и
, а дисперсия выхода
имеет вид
.
Допустим,
что мы согласны на увеличение дисперсии выхода до значения
. Тогда
1)
вычисляем
,
2)
оптимальное регулирование достигается при помощи действия
,
3)
дисперсия входа может быть уменьшена до
,
т.
е. уменьшится до
от
дисперсии схемы без ограничения, где
.
В
табл. 13.2 приведены значения
и
для
, заключенного между 0,1 и 1,0.
Таблица
13.2. Значения параметров для простой схемы регулирования с ограничением
|
0,10
|
0,20
|
0,30
|
0,40
|
0,50
|
0,60
|
0,70
|
0,80
|
0,90
|
1,00
|
|
0,302
|
0,408
|
0,480
|
0,535
|
0,577
|
0,612
|
0,641
|
0,667
|
0,688
|
0,707
|
|
53,7
|
42,0
|
35,1
|
30,3
|
26,8
|
24,0
|
21,9
|
20,0
|
18,5
|
17,2
|
Пусть,
например,
.
Тогда оптимальная схема без ограничений будет требовать регулирующего действия
с
. Дисперсия
равна
. Пусть
потребовалось понизить ее в 4 раза, т. е. до значения
. Из табл. 13.2 вытекает, что уменьшение
дисперсии входа до 24% от его значения при отсутствии ограничений возможно при
и
. Если мы используем
схему с этими значениями, дисперсия выхода будет равна
.
Итак,
применив регулирующее действие
вместо
,
мы
уменьшаем дисперсию входа до четверти ее предыдущего значения, а дисперсия
выхода увеличивается на 10%.
Случай,
когда нельзя пренебречь
. Рассмотрим теперь более общий случай,
когда
непренебрежимо
мало и необходимо учитывать динамику системы. Разностное уравнение (13.2.14)
имеет вид
,
и
если
–
корень характеристического уравнения, то и
– корень того же уравнения. Пусть корни
уравнения равны
,
причем
и
по модулю меньше
единицы. Тогда в решении
и
должны
быть равны нулю, так как дисперсия
конечна.
Итак,
решение имеет вид
,
,
.
Пользуясь
начальными условиями (13.2.12) и (13.2.13), находим коэффициенты
:
,
.
Если
обозначить
,
, то
(13.2.24)
и
. (13.2.25)
Подставляя
(13.2.24) в (13.2.8), получаем
(13.2.26)
и
.
Тогда
из (13.2.7) вытекает, что оптимальное регулирующее действие, выраженное через
ошибку
,
имеет вид
(13.2.27)
или
. (13.2.28)
Итак,
в модифицированной схеме регулирования
зависит как от
, так и от
(только от
, если
); эта схема
уменьшает стандартное интегральное и пропорциональное действие в
раз.
Дисперсии
на выходе и входе. Легко найти фактические дисперсии на выходе и входе. Имеем
.
Второй
член в правой части – смешанный процесс авторегрессии – скользящего среднего
порядка
,
дисперсия которого без труда определяется как
. (13.2.29)
Далее,
. (13.2.30)
Вычисление
и
. Для разностного
уравнения (13.2.14) характеристическое уравнение имеет вид
,
где
и
. Его можно также
представить в виде
,
где
и
.
Приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях
, находим
,
т. е.
,
.
Отсюда
, т. е.
,
.
При
подходящих значениях
это квадратное уравнение имеет два
действительных корня:
,
.
Искомая величина
–
это меньший из корней квадратного уравнения
,
а
определяется
из
.
Таблица
оптимальных значений для схем с ограничением; способ построения. Для облегчения
выбора оптимальной схемы регулирования можно пользоваться табл. 13.3.
Табулированные значения для каждого заданного
– параметра модели передаточной функции
– получены следующим путем.
Таблица
13.3. Таблица, облегчающая расчет оптимальных схем регулирования с ограничением
|
|
|
20
|
40
|
60
|
80
|
10
|
0,9
|
|
21,7
|
11,3
|
6,7
|
4,5
|
3,1
|
|
0,44
|
0,585
|
0,68
|
0,74
|
0,78
|
|
0,18
|
0,27
|
0,34
|
0,39
|
0,44
|
0,8
|
|
22,0
|
11,7
|
7,2
|
4,8
|
3,4
|
|
0,44
|
0,585
|
0,68
|
0,74
|
0,78
|
|
0,18
|
0,27
|
0,33
|
0,38
|
0,43
|
0,7
|
|
22,7
|
12,4
|
8,0
|
5,6
|
4,1
|
|
0,44
|
0,585
|
0,68
|
0,74
|
0,78
|
|
0,17
|
0,25
|
0,32
|
0,36
|
0,40
|
0,6
|
|
24,1
|
13,6
|
9,0
|
6,6
|
5,0
|
|
0,44
|
0,58
|
0,67
|
0,73
|
0,78
|
|
0,16
|
0,24
|
0,29
|
0,33
|
0,365
|
0,5
|
|
26,5
|
15,5
|
10,5
|
7,9
|
6,2
|
|
0,43
|
0,58
|
0,67
|
0,72
|
0,77
|
|
0,15
|
0,21
|
0,26
|
0,29
|
0,32
|
0,4
|
|
28,5
|
17,7
|
12,7
|
9,8
|
7,9
|
|
0,43
|
0,57
|
0,66
|
0,72
|
0,76
|
|
0,13
|
0,18
|
0,22
|
0,245
|
0,265
|
0,3
|
|
31,5
|
20,5
|
15,2
|
12,0
|
9,9
|
|
0,43
|
0,57
|
0,65
|
0,71
|
0,75
|
|
0,105
|
0,145
|
0,17
|
0,19
|
0,20
|
0,2
|
|
34,8
|
23,6
|
18,0
|
14,5
|
12,2
|
|
0,42
|
0,56
|
0,64
|
0,69
|
0,73
|
|
0,07
|
0,10
|
0,12
|
0,13
|
0,14
|
0,1
|
|
38,2
|
26,7
|
21,0
|
17,3
|
14,6
|
|
0,42
|
0,55
|
0,63
|
0,68
|
0,72
|
|
0,04
|
0,05
|
0,06
|
0,065
|
0,07
|
1)
Вычисляем
и
для
ряда значений
,
выбранных так, чтобы обеспечить нужный диапазон
.
2)
Вычисляем
и
.
3)
Вычисляем
и
.
4)
Вычисляем
.
5)
Вычисляем
.
6)
Значения
,
,
для подходящих значений
находим
интерполяцией.
Пользование
таблицей. Табл. 13.3 нужно пользоваться следующим образом. В левом столбце
находим нужное значение
. Пользуясь тем, что
, находим, что
увеличение дисперсии выхода (в %) будет равно
. Подходящее значение
находим в верхней
строке. Итак, входными данными таблицы будут
а)
,
процентное уменьшение дисперсии
;
б)
;
в)
.
Примем,
например,
,
,
. Уравнение
оптимального регулирования без ограничений имеет вид
и
.
Предположим, что такая дисперсия входной переменной создает трудности при
осуществлении производственного процесса, и желательно уменьшить
до
, т. е. до 28% от
значения дисперсии в схеме без ограничений. По табл. 13.3 находим, что
значениям
и
соответствуют
постоянные схемы регулирования
,
. Решение уравнения регулирования
(13.2.28) принимает вид
.
Такое
решение соответствует значению
. Следовательно, дисперсия выхода
увеличится в
раза,
т. е. примерно на 7%.