13.2.1. Вывод выражения для оптимальной корректировки

Пусть оптимальная корректировка, выраженная через , будет равна

,                   (13.2.4)

где

.

Тогда, обращаясь к рис. 13.3, мы видим, что ошибка выхода  определяется выражением

.                (13.2.5)

Коэффициент при  в этом выражении равен единице, так что можно записать

,              (13.2.6)

где

.

Далее, практически регулирование нужно выразить через наблюдаемые ошибки выхода , а не через , так чтобы регулирующее действие имело вид

.                       (13.2.7)

Приравнивая (13.2.5) и (13.2.6), получаем

.              (13.2.8)

Так как ,  и  – константы, можно стандартным образом найти безусловный минимум выражения

;                    (13.2.9)

здесь  и т. п. Точно так же, пользуясь производящими функциями, мы будем искать (безусловный) минимум коэффициента при  в выражении

,

или, в несколько ином виде, в

             (13.2.10)

где . Этот минимум мы можем найти, дифференцируя  по каждому  , выбирая коэффициенты при  в результирующем выражении, приравнивая их нулю и решая получившиеся уравнения. Имеем

                       (13.2.11)

Найдя коэффициенты при  для  и приравнивая их нулю, получаем уравнения

                 (13.2.12)

  (13.2.13)

.   (13.2.14)

Случай пренебрежимо малого . Рассмотрим сначала простейший случай, когда  пренебрежимо мало и может считаться нулем. Тогда приведенные выше уравнения принимают вид

,                  (13.2.15)

.                              (13.2.16)

Эти разностные уравнения имеют решения вида

,

где  и  – корни характеристического уравнения

,                        (13.2.17)

т. е.

.

Очевидно, если  – корень этого уравнения, то и  – тоже корень. Поэтому решение имеет вид . Если  по модулю меньше или равно 1, то  по модулю больше или равно 1, и так как  должно иметь конечную дисперсию,  должно быть равно нулю, а . Подставляя решение  в (13.2.15), находим, что .

Наконец, так как  и  и  должны быть действительными числами, корень уравнения  тоже действителен. Отсюда

,                     ,                   (13.2.18)

,                (13.2.19)

где . Тогда

,

так что

.                (13.2.20)

Из (13.2.8) при  получаем

.               (13.2.21)

Отсюда

и

.                  (13.2.22)

Из (13.2.7), (13.2.19) и (13.2.21) находим, что оптимальное регулирующее действие, выраженное через наблюденные ошибки на выходе , равно

,

т. е.

.                 (13.2.23)

Отметим, что уравнение регулирования с ограничением отличается от уравнения без ограничения в двух отношениях.

1. Вводится новый множитель , в результате чего текущее действие частично зависит от предыдущего.

2. Постоянная, определяющая долю интегрального регулирования, уменьшается в  раз.

Мы предполагали, что допускается увеличение дисперсии выхода до значения . Из (13.2.20) следует, что

,

т. е.

,

где берется положительное значение корня. Удобно ввести обозначение . Тогда  и , а дисперсия выхода имеет вид .

Допустим, что мы согласны на увеличение дисперсии выхода до значения . Тогда

1) вычисляем

,

2) оптимальное регулирование достигается при помощи действия

,

3) дисперсия входа может быть уменьшена до

,

т. е. уменьшится до  от дисперсии схемы без ограничения, где

.

В табл. 13.2 приведены значения  и  для , заключенного между 0,1 и 1,0.

Таблица 13.2. Значения параметров для простой схемы регулирования с ограничением

Пусть, например, . Тогда оптимальная схема без ограничений будет требовать регулирующего действия

с . Дисперсия  равна . Пусть потребовалось понизить ее в 4 раза, т. е. до значения  . Из табл. 13.2 вытекает, что уменьшение дисперсии входа до 24% от его значения при отсутствии ограничений возможно при  и . Если мы используем схему с этими значениями, дисперсия выхода будет равна

.

Итак, применив регулирующее действие

вместо

,

мы уменьшаем дисперсию входа до четверти ее предыдущего значения, а дисперсия выхода увеличивается на 10%.

Случай, когда нельзя пренебречь . Рассмотрим теперь более общий случай, когда  непренебрежимо мало и необходимо учитывать динамику системы. Разностное уравнение (13.2.14) имеет вид

,

и если  – корень характеристического уравнения, то и  – корень того же уравнения. Пусть корни уравнения равны , причем  и  по модулю меньше единицы. Тогда в решении

 и  должны быть равны нулю, так как дисперсия  конечна.

Итак, решение имеет вид

,                 ,           .

Пользуясь начальными условиями (13.2.12) и (13.2.13), находим коэффициенты :

,                 .

Если обозначить , , то

                (13.2.24)

и

.              (13.2.25)

Подставляя (13.2.24) в (13.2.8), получаем

                    (13.2.26)

и

.

Тогда из (13.2.7) вытекает, что оптимальное регулирующее действие, выраженное через ошибку , имеет вид

               (13.2.27)

или

.                 (13.2.28)

Итак, в модифицированной схеме регулирования  зависит как от , так и от  (только от , если ); эта схема уменьшает стандартное интегральное и пропорциональное действие в  раз.

Дисперсии на выходе и входе. Легко найти фактические дисперсии на выходе и входе. Имеем

.

Второй член в правой части – смешанный процесс авторегрессии – скользящего среднего порядка , дисперсия которого без труда определяется как

.                    (13.2.29)

Далее,

.                     (13.2.30)

Вычисление  и . Для разностного уравнения (13.2.14) характеристическое уравнение имеет вид

,

где  и . Его можно также представить в виде

,

где

 и .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , находим

, т. е. ,

.

Отсюда , т. е.

,

.

При подходящих значениях  это квадратное уравнение имеет два действительных корня:

,             

. Искомая величина  – это меньший из корней квадратного уравнения

,

а  определяется из

.

Таблица оптимальных значений для схем с ограничением; способ построения. Для облегчения выбора оптимальной схемы регулирования можно пользоваться табл. 13.3. Табулированные значения для каждого заданного  – параметра модели передаточной функции – получены следующим путем.

Таблица 13.3. Таблица, облегчающая расчет оптимальных схем регулирования с ограничением

1) Вычисляем

 и

для ряда значений , выбранных так, чтобы обеспечить нужный диапазон .

2) Вычисляем

и

.

3) Вычисляем

и

.

4) Вычисляем

.

5) Вычисляем

.

6) Значения , ,  для подходящих значений  находим интерполяцией.

Пользование таблицей. Табл. 13.3 нужно пользоваться следующим образом. В левом столбце находим нужное значение . Пользуясь тем, что , находим, что увеличение дисперсии выхода (в %) будет равно . Подходящее значение  находим в верхней строке. Итак, входными данными таблицы будут

а) , процентное уменьшение дисперсии ;

б) ;

в) .

Примем, например, , , . Уравнение оптимального регулирования без ограничений имеет вид

и . Предположим, что такая дисперсия входной переменной создает трудности при осуществлении производственного процесса, и желательно уменьшить  до , т. е. до 28% от значения дисперсии в схеме без ограничений. По табл. 13.3 находим, что значениям  и  соответствуют постоянные схемы регулирования , . Решение уравнения регулирования (13.2.28) принимает вид

.

Такое решение соответствует значению . Следовательно, дисперсия выхода увеличится в  раза, т. е. примерно на 7%.