12.4.3. Пример

Во втором примере регулирования с обратной связью в разд. 12.2.3 цель заключалась в поддержании вязкости полимера как можно ближе к номинальному значению 92 путем ежечасного измерения вязкости и корректировки скорости подачи газа. Предыдущее обсуждение касалось разработки пробной схемы регулирования, основанной на ненадежной информации. При этом существенным был предполагаемый вид моделей шума и передаточной функции

,                    (12.4.8)

               (12.4.9)

с , , .

Рис. 12.12. Опытная схема регулирования вязкости. Часть записи характеристик процесса и восстановленное возмущение. а – изменение подачи газа  (регулирующее действие), б – результирующее отклонение вязкости от номинала, в – расчетное отклонение вязкости от номинала, которое могло бы возникнуть при отсутствии регулирующих действий.

Эти модели привели к уравнению регулирования  для определения необходимой корректировки в момент . Часть фактической записи процесса при использовании этой пробной схемы показана на рис. 12.12. Изменения скорости подачи газа  и соответствующие отклонения от номинала  образуют новые данные, по которым можно получить новые оценки. Мы будем действовать в предположении, что форма модели адекватна, но что оценки параметров ,  и  могут быть ошибочными. В этом случае уравнения (12.4.4), (12.4.6) и (12.4.7) принимают вид

,                 (12.4.10)

где ,

,

.                 (12.4.11)

В качестве примера в табл. 12.2 приведен набор из 8 пар значений  и . Они являются начальными значениями рядов из 312 наблюдений, полученных в течение 13 дней эксплуатации обычной схемы; все наблюдения приведены под заголовком «Ряд , данные опытной схемы» в сводке рядов и данных в конце книги.

Таблица 12.2. Восемь пар значений ряда  для опытной схемы

В табл. 12.3 показано начало рекуррентного расчета  для значений параметров , , . При этих значениях уравнения (12.4.11) и (12.4.10) приобретают вид

,                    (12.4.12)

.                      (12.4.13)

Данные приведены в первых трех столбцах табл. 12.3. Величины в четвертом столбце получены при помощи (12.4.13) и представляют собой изменения выхода, вызываемые изменениями . Пятый и шестой столбцы получены очевидными арифметическими действиями, а седьмой столбец – согласно (12.4.12). В этой таблице вместо неизвестных начальных значений были использованы  и . Последовательные строки таблицы показывают, как выбор этих величин влияет на последующие вычисления.

Таблица позволяет выяснить ряд вопросов.

Таблица 12.3. Рекуррентный расчет  по данным опытной схемы дли значений параметров , ,

1) Мы замечаем, что выбор  и  влияет только на первые несколько значений . Этот факт справедлив и в более общем случае, если не считать диапазона значений параметров, в котором весовые функции для модели шума или передаточной функции очень медленно затухают. Для принятого здесь подхода маловероятно, чтобы истинные значения параметров оказались в этом критическом диапазоне.

2) Можно воспользоваться крайне неточными значениями  и , и если, как в этом примере, данные доступны, отбросить несколько первых значений , позволяя затухнуть переходным явлениям, вызванным неудачным выбором  и .

3) Можно вычислить и использовать в дальнейших расчетах по методу наименьших квадратов значения , полученные с начальными значениями  и , минимизирующими условную сумму квадратов при фиксированном выборе «главных параметров». Возможны и некоторые дальнейшие уточнения такого типа, как описаны в разд. 7.1; мы не будем их здесь обсуждать.

Последний пункт мы проиллюстрируем анализом данных в табл. 12.3, по которым особенно легко провести вычисления. Значения  и , минимизирующие  для конкретных значений параметров ; ; , находятся «регрессией» столбца (а) на столбцы (b) и (с) табл. 12.4.

Таблица 12.4. Расчет оценок максимального правдоподобия для начальных значений

Все элементы этой таблицы получены из крайнего правого столбца табл. 12.3. Элементы столбца (а) – это члены, не зависящие от  и  элементы столбцов (b) и (с) – это коэффициенты при  и  соответственно. Поскольку эти коэффициенты быстро спадают до нуля, для вычисления  и  важны только первые члены рядов. Фактически для рассматриваемого случая нам достаточно ограничиться первыми восемью членами. Нормальные уравнения имеют вид

,

и приводят к решениям для начальных значений , .

Характер рельефа поверхности суммы квадратов для этого примера можно представить, рассмотрев рис. 12.13. Изолинии получены интерполяцией расчетных значении на сетке. В каждом случае начальные значения найдены описанным выше способом. Заштрихованы соответствующие приближенные трехмерные 95%-ные доверительные области.

Рис. 12 13. Рельеф суммы квадратов и приближенная 95%-ная доверительная область для  по данным опытной схемы регулирования ( приведено в логарифмическом масштабе).

В качестве дополнительной проверки был проведен расчет при помощи программы нелинейного метода наименьших квадратов; в качестве начальных значений использовались грубые оценки, применявшиеся в пробной схеме регулирования. Ход итераций показан в табл. 12.5.

Таблица 12.5. Сходимость оценок параметров при одновременной подгонке моделей передаточной функции и шума

Выборочная автокорреляционная функция остаточных ошибок  показана в табл. 12.6 на следующей странице вместе с выборочной взаимной корреляционной функцией  и  Сравнение с верхними границами стандартной ошибки не обнаруживает неадекватности модели.

Из этого примера видно, что оценки , , использованные в опытной схеме, почти правильны, но значение  динамического параметра слишком мало; следует использовать значение . После изменения оценок параметров оптимальная схема регулирования имеет вид

,

ее следует сравнить с опытной схемой

.

Таблица 12.6. Выборочные автокорреляции  и взаимные корреляции  и