11.3.3. Использование остаточных ошибок для диагностической проверки

Серьезные несоответствия модели анализируемым данным могут быть обнаружены изучением

а) выборочной автокорреляционной функции  остаточных ошибок  после подгонки модели;

б) некоторых выборочных взаимных корреляционных функций, включающих входные и выходные остаточные ошибки; в частности взаимную корреляционную функцию  выравненного входа  и остаточных ошибок .

Пусть после взятия нужного числа разностей модель можно представить в виде

, (11.3.13)

Пусть мы выбрали неправильную модель, что привело к остаточным ошибкам :

.

Тогда

,                (11.3.14)

отсюда становится очевидным, что если модель выбрана неправильно,  будут коррелированы между собой; кроме того,  будут коррелированы с , а, следовательно, и с , генерирующими .

Рассмотрим теперь два частных случая:

а) модель передаточной функции верна, а модель шума неверна;

б) модель передаточной функции неверна.

Модель передаточной функции верна, а модель шума неверна. Если , но , то (11.3.14) переходит в

.                                                            (11.3.15)

Следовательно,  не будут коррелированы с  или . Однако процесс  будет обладать автокорреляционной функцией, по виду которой можно судить о необходимых изменениях модели шума.

Модель передаточной функции неверна. Из (11.3.14) видно, что если модель передаточной функции неверна,  будут коррелированы с  (и ), но, кроме того, сами  будут коррелированы. Это так даже в том случае, если модель шума верна, так как в этом случае (11.3.14) имеет вид

.                                    (11.3.16)

Вне зависимости от того, верна или нет модель шума, взаимный корреляционный анализ может указать необходимые изменения в модели передаточной функции. Этот аспект становится яснее, если рассмотреть модель после предварительного выравнивания спектра. Если вход и выход преобразованы так, что вход — белый шум, то, как и в (11.2.8), мы можем представить модель в виде

,

где .

Рассмотрим теперь величины

.

Так как , рассуждая, как в разд. 11.2.1, приходим к заключению, что взаимная корреляция между  и  есть мера расхождения между верной и неверной функциями отклика на единичный импульс. Конкретнее, как и в (11.2.11),

        .              (11.3.17)