10.6. Прием по наиболее надежным символам и метод Вагнера

Метод приема по наиболее надежным символам, предложенный в работе [6], занимает промежуточное положение между методами поэлементного приема и приема в целом. Он основан на том факте, что в любой кодовой комбинации можно «стереть»  символов (а в отдельных случаях и больше) и по оставшимся символам опознать (декодировать) переданную букву. Поскольку любая пара кодовых комбинаций имеет по крайней мере на  местах несовпадающие символы, то для того, чтобы их сделать неразличимыми, нужно стереть не менее чем  символов.

Пусть первая разрешающая схема, такая же как и при поэлементном приеме, определяет апостериорные вероятности символов и принимает предварительное решение о том, что передавался символ, имеющий наибольшую апостериорную вероятность. Полученная таким образом регенерированная кодовая комбинация поступает на 2-ю решающую схему, но, в отличие от поэлементного приема, на эту схему подается также информация об апостериорной вероятности каждого регенерированного символа (рис. 10.9). При декодировании учитываются только те символы, которые имеют наибольшие апостериорные вероятности («наиболее надежные») в количестве, необходимом для того, чтобы различить одну допустимую кодовую комбинацию от другой. Это количество не превышает .

Рис. 103. Схема приема по наиболее надежным символам.

Такой метод приема должен обеспечивать более высокую верность, чем поэлементный, поскольку в нем используется информация об апостериорных вероятностях регенерированных символов, которая при поэлементном приеме теряется. Все же он должен в принципе уступать в верности приему в целом, поскольку информация о менее надежных символах здесь полностью теряется. Можно сказать, что прием по наиболее надежным символам относится к приему в целом так же, как разнесенный прием по методу выбора относится к разнесенному приему по оптимальному методу сложения.

В случае флюктуационных помех, как легко показать, апостериорная вероятность регенерированного символа является монотонной функцией от . Поэтому наиболее надежными символами являются те, которым соответствуют наибольшие значения .

Остановимся на частном случае кодов типа , отличающихся тем, что  символов в комбинации являются информационными, а -й символ — контрольным, определяемым путем проверки на четность. Примером такого кода является код (6, 5), рассмотренный в предыдущем параграфе. Для таких кодов наименьшее хеммингово расстояние между любыми двумя комбинациями .

Предположим, что передается некоторая комбинация, соответствующая букве . Необнаруженная ошибка при поэлементном приеме будет иметь место, если два элемента окажутся ошибочно принятыми. Пусть это будут -й и -й по порядку элементы. В этом случае  и  и прием в целом приведет к ошибке, так как в данном коде содержится комбинация (соответствующая некоторой букве ), отличающаяся от переданной только -м и -м символами, для которой  и . Ошибка произойдет также и при приеме по наиболее надежным символам, поскольку при стертым может быть только один символ, так что по крайней мере один из ошибочно принятых символов будет учтен при декодировании.

Пусть теперь только для одного -го символа, , а остальные символы при поэлементном приеме приняты правильно. Результатом поэлементного приема будет обнаруженная ошибка, а прием по наиболее надежным символам даст правильный результат только в том случае, если ошибочно принятый символ является наименее надежным, т. е.

               (10.40)

Легко показать, что только при выполнении (10.40) прием в целом также обеспечит правильное декодирование. Действительно, в этом случае

для любого , так как  и  Если же (10.40) не выполнено, то существует некоторый -й символ, для которого  при всех . Тогда

,

так как  и . Следовательно, существует кодовая комбинация, соответствующая некоторой букве  и отличающаяся от переданной только -м и -м символами, для которой

.

Приведенные рассуждения показывают, что в случае флюктуационных помех и кода  прием в целом и прием по наиболее надежным символам эквивалентны по верности. Это же положение оказывается справедливым для двоичных кодов с постоянным весом.

Доказательство этого содержится в работе [3]. Однако было бы ошибочным обобщать этот вывод на другие коды или даже на класс кодов с .

Другой метод приема, занимающий промежуточное положение между поэлементным приемом и приемом в целом, носит название метода Вагнера [4]. Этот метод предназначен только для двоичных кодов с четным . При поэлементном приеме такой код позволяет исправить  ошибок и, кроме того, обнаружить ошибку, если число ошибочно принятых элементов равно .

В схеме Вагнера, так же как и в схеме рис. 10.9, на 2-ю решающую схему поступает последовательность регенерированных символов, а также информация об их апостериорных вероятностях. Последняя, однако, используется лишь в том случае, когда поэлементное декодирование с помощью проверок на четность указывает наличие  ошибок. В этом случае наименее надежный символ изменяется на противоположный и, если он действительно был ошибочным, количество ошибок уменьшается до . Эти оставшиеся ошибки могут быть исправлены проверками на четность.

Из сказанного видно, что метод Вагнера в меньшей степени использует информацию об апостериорных вероятностях, чем метод Бородина (приема по наиболее надежным символам). Метод Бородина позволяет исправить ошибки, если их число не превышает , при условии, что ошибочно принятые символы имеют меньшие апостериорные вероятности, чем правильно принятые, тогда как метод Вагнера позволяет исправить только  ошибок, если в число ошибочно принятых символов входит символ, имеющий наименьшую апостериорную вероятность,

В частном случае кодов , для которых , метод Вагнера, по существу, не отличается от метода Бородина, который, как мы видели, обеспечивает в этом случае ту же верность, что и прием в целом. Следует отметить, что метод Бородина применим к кодам с любым основанием, тогда как метод Вагнера рассчитан только на двоичные коды.