6.2. Когерентный разнесенный прием

Найдем оптимальное (в смысле критерия максимума правдоподобия) правило решения при разнесенном приеме элемента сигнала, полагая, что в каждой ветви приема значения  и  точно известны на основании анализа предыдущих элементов, а помехи независимы.

Пусть на входе канала используются сигналы   и в -й ветви  принимается сигнал (5.2)

                    (6.3)

где  - реализация помехи в -й ветви.

Из (6.3) следует, что

,                     (6.4)

что позволяет с учетом (3.15) и (3.18) записать условную плотность вероятности принимаемых сигналов во всех ветвях при передаче сигнала :

               (6.5)

где  - сколь угодно большое число.

Согласно критерию максимума правдоподобия символ  должен регистрироваться, если

или

        (6.6)

Раскрывая скобки под интегралами (6.6) и преобразуя с учетом того, что

можно привести (6.6) к эквивалентному неравенству

                      (6.7)

где  - принимаемый сигнал, все частотные составляющие которого повернуты на угол - ,  - мощность сигнала  на входе схемы обработки.

Сравнивая (6.7) с правилом решения при одиночном когерентном приеме (3.27), видим, что оно отличается лишь заменой принимаемого сигнала  на сумму

.

На основании (6.7) можно составить функциональную схему (рис. 6.1). В каждой ветви этой схемы принятый сигнал поступает на фазовращатель, сдвигающий фазы на , а затем на усилитель, умножающий на весовой коэффициент . После этого сигналы складываются и их сумма поступает на обычную решающую схему когерентного приема. Анализирующие и управляющие устройства, необходимые для регулирования фазового сдвига и усиления, на этом рисунке не показаны.

Рис. 6.1. Схема когерентного сложения.

Путем очевидных преобразований можно представить правило (6.7) в другой форме:

             (6.7а)

где  представляет сигнал , в котором все составляющие сдвинуты по фазе на . В этом виде правило реализуется решающей схемой, состоящей из  отдельных схем когерентного приема и сумматоров, складывающих результаты, полученные в каждой ветви.

Для системы с активной паузой, при одинаковой спектральной плотности помех во всех ветвях, правило (6.7) можно упростить, учитывая, что

                       (6.7б)

Если используются высокочастотные взаимно ортогональные в усиленном смысле сигналы с активной паузой, то когерентное сложение с хорошим приближением можно осуществить по схеме, изображенной на рис. 6.2. Чтобы не загромождать рисунок, эта схема показана для двоичной системы и сдвоенного приема. Читатель легко может ее обобщить на любое основание кода и любое число ветвей разнесения.

Рис. 6.2. Вариант схемы когерентного сложения для ортогональных сигналов с активной паузой.

Здесь  и  - сигналы, создаваемые местными генераторами и отличающиеся от  и  соответственно только сдвигом на определенную «промежуточную» частоту , а также, разумеется, мощностью, как в схеме синхронного гетеродинирования (см. примечание 5 к гл. 4). Так, если

,

то

,

где  - произвольная постоянная.

Приходящий сигнал в -й ветви

перемножается на сумму сигналов местных генераторов, и произведение  поступает на фильтр , выделяющий составляющую с частотой . Очевидно, что

                       (6.8)

Частота  выбирается так, чтобы она была ниже наименьшей частоты спектра любого из сигналов , а полоса пропускания фильтра  - так, чтобы его постоянная времени  была значительно больше длительности элемента сигнала  и в то же время значительно меньше времени корреляции замираний . Очевидно, что это условие можно выполнить, если замирания достаточно медленные.

Легко видеть, что 1-й и 3-й члены в фигурных скобках (6.8) имеют спектр, лежащий за пределами полосы пропускания фильтра. Спектр 2-го члена, вообще говоря, занимает полосу частот, включающую частоту ; однако можно показать, что при ортогональности сигналов  значение его спектральной плотности на частоте  равно нулю. Таким образом, напряжение на выходе фильтра определяется только 4-м и 5-м членами. Напряжение на выходе фильтра за счет 4-го члена будет, очевидно, пропорционально

,

где волнистая черта обозначает усреднение по времени.

Поскольку , а в системе с активной паузой мощности всех сигналов одинаковы , то это напряжение

                (6.8а)

не зависит от того, какой из сигналов передавался, и целиком определяется значениями  и  в данной ветви.

Напряжение, создаваемое 5-м членом, представляет собой шум, из которого фильтр выделяет часть, лежащую в полосе его пропускания. При достаточно узкополосном фильтре этим напряжением можно в первом приближении пренебречь.

Действительно, можно показать, что его мощность меньше средней мощности напряжения (6.8а) в  раз. Поскольку величина  при сколько-нибудь удовлетворительном приеме существенно больше единицы, а отношение  при медленных замираниях обычно бывает не меньше 100, то добавление шумового члена к (6.8а) вызовет изменение его амплитуды всего лишь на несколько процентов, а его фазы - не более чем на . Учет этого показывает, что в схеме рис. 6.2 когерентное сложение осуществляется не вполне точно, но влияние этой неточности на вероятность ошибок оказывается ничтожным.

Итак, будем полагать, что напряжение на выходе фильтра пропорционально (6.8а). Это напряжение поступает на второй перемножитель (преобразователь частоты) вместе с входным сигналом. На его выходе напряжение пропорционально

,                       (6.8б)

где  - принимаемый сигнал, сдвинутый по частоте на величину  и по фазе на . Первый член в (6.8б) обычно легко отсеивается фильтром, так как его спектр лежит на  выше спектра второго члена. Второй же член с точностью до сдвига частоты совпадает с выражением, фигурирующим в правиле решения (6.7). Другими словами, на выходе перемножителей начальные фазы сигналов не зависят от номера ветви и совпадают с фазами местных сигналов . Это позволяет произвести когерентное сложение, а затем использовать местные сигналы в качестве опорных для когерентного приема.

Перейдем к вычислению вероятности ошибок для некоторых случаев когерентного разнесенного приема.

Условная вероятность ошибочного приема элемента сигнала при когерентном сложении для заданных значений  и  определяется как вероятность невыполнения неравенства (6.7) при передаче символа . Полная вероятность ошибки находится путем усреднения условной вероятности по  и  в соответствии с характером замираний. Вычисление этой вероятности в общем виде затруднительно. Ограничимся некоторыми частными случаями, которые позволят судить о порядке величины выигрыша в помехоустойчивости при разнесенном приеме методом когерентного сложения.

Будем рассматривать двоичную систему с активной паузой, для которой правило (6.7) приема символа  можно записать

                       (6.9)

Если действительно передавался символ , то

,                  (6.10)

где  -шум, действующий в -й ветви.

Подставив (6.10) в (6.9), получим, что условная вероятность ошибок при данных значениях  и при передаче символа  представляет собой вероятность выполнения неравенства

                       (6.11)

Учитывая, что

,

можно записать (6.11) в следующем виде:

                        (6.11а)

Здесь  определяется выражением (3.61а); напомним, что при ортогональных сигналах , а при противоположных . Интегралы в левой части этого неравенства представляют собой независимые нормально распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием. Их дисперсия может быть вычислена аналогично тому, как это сделано в гл. 3, и равна . Поэтому дисперсия суммы, записанной в левой части (6.11а), равная

.

Правая часть этого неравенства при фиксированном значении  также фиксирована. Отсюда вероятность выполнения этого неравенства или условная вероятность ошибки равна

.            (6.12)

Полная вероятность ошибок (учитывая симметричность двоичного канала при когерентном «приеме) может быть получена путем усреднения (6.12) по всем значениям :

                        (6.13)

Рассмотрим некоторые частные случаи:

а) Предположим, что величины  случайные, но на протяжении приема сообщения не изменяются, т. е. замирания практически отсутствуют, а коэффициенты передачи для разных ветвей различны.

При этом величина  представляет собой отношение энергии сигнала в -й ветви к спектральной плотности помехи. Полная вероятность ошибки в отсутствие замираний совпадает с условной вероятностью (6.12)

,                  (6.14)

где  - результирующее отношение энергии сигнала к спектральной плотности помехи после когерентного сложения с оптимальными весовыми коэффициентами.

Этот результат можно кратко сформулировать так: при оптимальном когерентном сложении результирующее отношение сигнала к помехе равно сумме отношений сигнала к помехе в каждой ветви. Заметим, что (6.14) можно легко вывести, не налагая условия равенства спектральных плотностей шума в разных ветвях [3].

Выигрыш в помехоустойчивости (по сравнению с одиночным приемом при ) в этом случае получается только при приеме на разнесенные антенны, когда показатель  в (6.2) равен нулю. При разнесении по частоте, если , , т. е. никакого выигрыша не получается. Если же , то разнесенный прием в отсутствии замираний дает уменьшение помехоустойчивости по сравнению с одиночным приемом.

б) Предположим, что замирания во всех ветвях полностью коррелированны . Поскольку для всех ветвей  одинаковы, из этого предположения следует, что все  также одинаковы в каждый данный момент . Тогда из (6.13) получим

.                  (6.15)

В случае релеевских замираний, подставляя  из (5.3) и производя интегрирование, получаем

.                   (6.15а)

Сравнивая результат с (5.10), можно заметить, что в этом случае когерентный прием на разнесенные антенны (когда  и ) обеспечивает энергетический выигрыш в  раз. Можно получить аналогичный результат, и не вводя предположения о равенстве среднего коэффициента передачи во всех ветвях приема, если под  понимать значение отношения энергии сигнала к спектральной плотности шума, усредненное как по времени, так и по всем ветвям. При  и  когерентный разнесенный прием выигрыша не дает.

в) Предположим теперь, что коэффициенты передачи в различных ветвях попарно некоррелированны . Обозначим через  положительную случайную величину:

.                       (6.16)

Теперь вместо (6.13) можно написать

.               (6.17)

При релеевских замираниях величина  представляет собой сумму квадратов независимых нормально распределенных величин  и  . Как известно, распределение вероятности величины  называется «распределением » с  степенями свободы:

              (6.18)

Подставив (6.8) в (6.7), путем последовательного интегрирования по частям получим

.                 (6.19)

В частности, при сдвоенном приеме

.                     (6.19а)

При удовлетворительной связи, когда , можно получить вместо (6.19а) приближенное выражение

.                (6.19б)

Сравним этот результат с (5.10а). Если при одиночном приеме в канале с релеевскими замираниями вероятность ошибки приблизительно обратно пропорциональна мощности сигнала, то при сдвоенном когерентном приеме на разнесенные антенны  она обратно пропорциональна квадрату мощности. При допустимой вероятности ошибок порядка  сдвоенный прием при когерентном сложении и некоррелированных коэффициентах передачи обеспечивает энергетический выигрыш до 20 дБ. В случае же полной корреляции между коэффициентами передачи в ветвях сдвоенного приема энергетический выигрыш при  составляет всего лишь 3 дБ (6.15а). На рис. 6.3 показаны зависимости вероятности ошибок от параметра  при различных  для  и .

Рис. 6.3. Вероятность ошибок при когерентном разнесенном приеме.

Очевидно, что при некоррелированных коэффициентах передачи сдвоенный прием может дать выигрыш и при , если только значение  достаточно велико.

г) Пусть теперь , коэффициенты передачи в ветвях коррелированны произвольным образом, а замирания релеевские. Вероятность ошибок по-прежнему определяется выражением (6.17), в котором, однако, квадратичная форма  (6.16) уже является суммой квадратов коррелированных нормальных величин.

Для нахождения плотности распределения  применим матричный метод, описанный в примечании 4 к гл. 5. В данном случае матрица  квадратичной формы является единичной, так что .

Корреляционная матрица величин , , ,  равна

.                   (6.20)

Собственные числа этой матрицы найдем как корни уравнения

,                       (6.21)

решая которое получим

;   ,              (6.22)

где .

Поскольку корни имеют парную кратность, плотность распределения  в соответствии с (5.42) равна [3]

                   (6.23)

Подставив (6.23) в (6.17) и произведя интегрирование, найдем вероятность ошибок

                  (6.24)

Легко видеть, что при  эта формула совпадает с (6.15а). При  предельным переходом можно получить (6.19а). При

             (6.24а)

Сравнивая полученное асимптотическое выражение с (6.19б), убеждаемся, что если , то возникающий вследствие корреляции энергетический проигрыш не превышает 1 дБ, т. е. в этих условиях корреляция практически не влияет на эффективность разнесенного приема.

Более общий случай когерентного разнесенного приема рассмотрен в [4].