4.4. Вероятности ошибок при оптимальном некогерентном приеме

Ортогональные системы с активной паузой

Определим вероятность появления ошибок при оптимальном некогерентном приеме для случая системы с активной паузой, ортогональной в усиленном смысле. Пусть передается сигнал  и фаза всех его составляющих в процессе передачи сдвинулась на угол . Тогда принятым сигналом будет

   (4.37)

Подставив это выражение в (4,29), найдем

                    (4.38)

Воспользовавшись свойством ортогональности в усиленном смысле (4.18) упростим эти выражения. При

                (4.39)

а при

       (4.40)

где  — мощность сигнала  (равная мощности сопряженного сигнала  , поскольку они имеют одинаковые коэффициенты в разложении Фурье), а через  и  обозначены интегралы  и . Заметим, что для системы с активной паузой мощности всех сигналов одинаковы, и в дальнейшем будем их обозначать .

Величины  и  при , а также  и  являются случайными с нормальным распределением вероятностей и с нулевым математическим ожиданием, в чем легко убедиться так же, как это было сделано при обсуждении формулы (3.37). Дисперсию  величины  можно вычислить следующим образом:

где  — дисперсия коэффициентов ряда Фурье помехи, равная согласно (3.16) . Таким образом,

                         (4.41)

Легко видеть, что такова же будет дисперсия всех  (при ), а также  и  Аналогичным образом можно убедиться в том, что все величины , , попарно некоррелированы, а следовательно (поскольку они гауссовские), и независимы. Так, например

Вычисляя математическое ожидание , учтем, что коэффициенты в разложении белого шума некоррелированны, вследствие чего

            (4.42)

по условию ортогональности сигналов.

Полученные результаты позволяют записать совместную плотность распределения вероятностей  случайных величин :

        (4.43)

Перейдем от величин  к  по формулам (4.25) и затем обозначим :

    (4.44)

 (произведение  вошло в это выражение как якобиан преобразования).

Полученная плотность не зависит от . Для того чтобы найти совместную плотность  величин , нужно  раз проинтегрировать (4.44) по , в результате чего получим

                (4.45)

В соответствии с правилом (4.30) решающая схема выберет действительно передававшийся символ , если величина  будет больше любой из остальных величин . Поэтому вероятность правильного приема совпадает с вероятностью неравенства (4.30), когда  имеют плотность (4.45). Для вычисления вероятности  правильного приема нужно проинтегрировать (4.45) по всем  в области, где  Эта задача достаточно проста, так как все переменные интегрирования разделяются:

          (4.46)

где применена подстановка  и использовано введенное в гл. 3 обозначение

Разложив  по формуле бинома Ньютона, приведем интеграл (4.46) к сумме табличных интегралов:

      (4.47)

Отсюда вероятность ошибки

                 (4.48)

Полученный результат свидетельствует, что для ортогональной в усиленном смысле системы с активной паузой вероятность ошибки (так же как и в случае известной фазы сигнала) однозначно определяется отношением энергии элемента сигнала к спектральной плотности помехи . При заданной энергии сигнала и спектральной плотности флюктуационной помехи ни полоса частот, занимаемая сигналом, ни какие-либо другие параметры сигнала не влияют на вероятность ошибок, если только сигналы удовлетворяют условию (4.18).

Легко убедиться также в том, что при ортогональной в усиленном смысле системе с активной паузой дискретное отображение канала является симметричным, т. е. вероятности всех видов ошибок одинаковы.

В случае  из (4.48) следует, что

                   (4.49)

Эта зависимость представлена на рис. 4.7 (кривая а). На том же рисунке (кривая б) показана зависимость вероятности ошибки от  при оптимальном когерентном приеме, построенная по формуле (3.54) для двоичной ортогональной системы. Из этого рисунка следует, что отсутствие априорных сведений об ожидаемой фазе сигнала сравнительно мало увеличивает вероятность ошибок и может быть скомпенсировано небольшим увеличением мощности сигнала.

Рис. 4.7. Вероятность ошибки при некогерентном (а) и когерентном (б) приеме (ортогональные системы с активной паузой).

Пусть некоторая вероятность ошибки , характеризующая требуемую верность приема, может быть достигнута при  в случае когерентного приема и при  в случае некогерентного приема. Тогда отношение  представляет собой энергетический проигрыш, обусловленный отсутствием (или неиспользованием) априорных сведений о начальной фазе сигнала. На рис. 4.8 представлена зависимость этого проигрыша (в децибелах) от допустимой вероятности ошибок. При достаточно высоких требованиях к верности приема электрический проигрыш не превышает 1 дБ. Этим можно объяснить тот факт, что на практике некогерентный прием применяется несравненно чаще, чем когерентный, даже в тех случаях, когда фаза принимаемого сигнала не флюктуирует или флюктуирует очень медленно, поскольку при высоких требованиях к верности энергетический выигрыш, даваемый когерентным приемом, не окупает затраты на систему точной подстройки фазы в приемном устройстве.

Рис. 4.8. Зависимость энергетического проигрыша от допустимой вероятности ошибок при переходе от когерентного приема к некогерентному.

Из анализа формулы (4.48) можно убедиться, что при фиксированном значении  вероятность ошибок возрастает с увеличением основания кода . Однако не следует, исходя из этого, делать поспешное заключение о том, что помехоустойчивость связи с увеличением основания кода уменьшается. Как было показано в гл. 2, для оценки верности передачи информации следует учитывать эквивалентную вероятность ошибок. В случае кодирования без избыточности эквивалентная вероятность ошибок равняется  (2.68). Кроме того, при заданной скорости передачи длительность элемента сигнала, а следовательно, и его энергия пропорциональны . Поэтому сравнение различных систем следует производить при одинаковых значениях параметра , который является инвариантным, если скорость передачи информации и мощность сигнала заданы.

На рис. 4.9 показано, как зависит эквивалентная вероятность ошибок от параметра  при различных основаниях кода  для ортогональных (в усиленном смысле)  систем с активной паузой.

Рис. 4.9. Сравнение помехоустойчивости ортогональных систем при различных основаниях кода.

Из этого рисунка можно заключить, что для повышения верности связи целесообразно применять код с высоким основанием. Следует, однако, учитывать, что увеличение основания кода почти всегда связано с усложнением аппаратуры. Кроме того, увеличение основания кода часто приводит к необходимости увеличивать полосу частот , занимаемую сигналом, что во многих случаях нежелательно.