5.2. Когерентный и некогерентный прием в условиях общих замираний с нулевой скоростью

Прием в каналах с релеевскими и квазирелеевскими замираниями

Если общие замирания происходят настолько медленно, что изменения  и  в близко расположенных элементах принимаемого сигнала сильно коррелированны между собой, то из анализа ранее принятых элементов сигнала можно с высокой степенью достоверности предсказать ожидаемые параметры следующего элемента. В этих условиях прием осуществляется так же, как если бы замирания отсутствовали, и оптимальными являются такие же системы сигналов и такие же решающие схемы, какие были рассмотрены в гл. 3, с той лишь разницей, что схема должна непрерывно регулироваться в соответствии с ожидаемыми значениями  и . Это обычно осуществляется с помощью устройств автоматического регулирования усиления и автоматической подстройки фазы и частоты.

Во многих случаях автоматическая подстройка фазы приводит к значительному усложнению аппаратуры, вследствие чего широкое применение нашли некогерентные методы приема, при которых сведения об ожидаемой начальной фазе принимаемого элемента сигнала не используются.

Условная вероятность ошибочного приема определенного элемента сигнала при общих медленных замираниях (в предположении, что ожидаемые параметры сигнала, учитываемые правилом решения, предсказаны точно) не отличается от вероятности ошибок в канале без замираний, рассчитанной для данного мгновенного значения отношения энергии элемента сигнала к спектральной плотности помехи . Но в процессе замираний величина  изменяется пропорционально . Поэтому для определения полной вероятности ошибочного приема элемента сигнала необходимо усреднить эту условную вероятность в соответствии с распределением вероятности .

Если обозначить через  математическое ожидание величины , то, очевидно, что

.                           (5.7)

Пусть вероятность ошибок в канале без замираний выражается функцией . Тогда полная вероятность ошибок в канале с медленными общими замираниями определится как

,                (5.8)

где  - плотность вероятности коэффициента передачи, характеризующая замирания.

Найдем в качестве примера вероятность ошибок при когерентном приеме двоичных сигналов в условиях медленных релеевских замираний. Подставив в (5.8) выражение для вероятности ошибок в отсутствие замираний (3.61) и плотность вероятности  из (5.3), получим

,                     (5.9)

где коэффициент  зависит от выбора системы сигналов.

С помощью интегрирования по частям найдем [6]

               (5.10)

При  формулу (5.10) можно заменить приближенной формулой

.                           (5.10а)

В частном случае системы с противоположными сигналами (например, ФТ)  и

               (5.11)

а при ортогональных сигналах, когда ,

              (5.11а)

Аналогично для системы с относительной фазовой манипуляцией (ОФТ) при когерентном приеме и релеевских замираниях, подставляя в (5.8) значение  из (4.99) и интегрируя по частям, находим

                (5.12)

В случае некогерентного приема сигналов ОФТ в предположении, что замирания настолько медленны, что для двух соседних элементов амплитуды и фазы приходящих сигналов практически совпадают, полная вероятность ошибок может быть вычислена путем усреднения выражения (4.102). Решим эту задачу для квазирелеевских замираний. Подставив (4.102) и (5.4) в (5.8), найдем

где

;        .

Полученный интеграл является табличным; учитывая его значение, находим

                        (5.13)

В случае релеевских замираний  и

.                   (5.14)

При , стремящемся к бесконечности, как и следовало ожидать, формула (5.13) переходит в формулу (4.102):

                     (5.15)

выражающую вероятность ошибок в отсутствие замираний. Полученная зависимость при различных значениях  представлена на рис. 5.7.

Рис. 5.7. Вероятность ошибок при ОФТ в канале с замираниями: –––––– - некогерентный прием; -------- - когерентный.

При некогерентном приеме наибольший интерес представляют системы, ортогональные в усиленном смысле. Для них можно найти выражение полной вероятности ошибок при любом основании кода  в общем случае квазирелеевских замираний исходя из (4.48)

Путем простых преобразований этот интеграл сводится к сумме табличных интегралов и окончательно

              (5.16)

При  получим для релеевских замираний

                  (5.16а)

Этот результат можно выразить также с помощью гамма-функций

              (5.16б)

Если флюктуирующая составляющая отсутствует , выражение (5.16) переходит в (4.48).

Для двоичных ортогональных (в усиленном смысле) систем при квазирелеевских замираниях и некогерентном приеме, подставив в (5.16) , получим

                   (5.17)

а при релеевских замираниях

                (5.17а)

При  выражение (5.17) переходит в (4.49). На рис. 5.8 представлена зависимость вероятности ошибок при некогерентном приеме от .

Рис. 5.8. Вероятность ошибок для двоичных сигналов с активной паузой при некогерентном приеме.

Таким же образом можно определить вероятность ошибки при некогерентном приеме двоичных сигналов с одинаковой энергией, если условие ортогональности в усиленном смысле не выполняется. Будем исходить из формулы (4.61), выражающей вероятность ошибки при заданном значении  в виде ряда. Подставляя в нее (5.7) и полагая распределение  релеевским, найдем

               (5.18)

где  определяется формулами (4.57).

Благодаря равномерной сходимости ряда под интегралом его можно интегрировать почленно. Обозначив для краткости

;          ;        ;      ;

выразим вероятность ошибок табличными интегралами:

Подставив сюда значения ,  и , после несложных преобразований получим [6]

                    (5.19)

В частном случае, когда  (сигналы ортогональны в усиленном смысле), формула (5.19) переходит в (5.17а). В другом крайнем случае, когда  (сигналы отличаются только начальной фазой), , как и следовало ожидать при некогерентном приеме. Если , то из (5.19) получается удобное приближенное выражение вероятности ошибки:

                    (5.19а)

Сравнивая этот результат с (5.17а), можно утверждать, что небольшие отклонения от ортогональности эквивалентны уменьшению энергии сигнала в  раз.

Зависимость вероятности ошибок от  при различных значениях  для релеевских замираний  изображена на рис. 5.8.

Анализ полученных результатов показывает, что замирания, особенно релеевские, резко увеличивают вероятность ошибок. Зависимость вероятности ошибок от  при релеевских замираниях оказывается во всех случаях близкой к обратно пропорциональной в отличие от канала без замираний, где эта зависимость всегда близка к экспоненциальной. Поэтому для получения достаточно высокой верности приема в канале с релеевскими замираниями требуется обеспечить значительно более высокое отношение средней энергии элемента приходящего сигнала к спектральной плотности белого шума, чем в отсутствие замираний. Квазирелеевские замирания являются промежуточным случаем между отсутствием замираний и релеевскими замираниями. Отметим, что энергетический выигрыш при использовании когерентного приема при общих замираниях не превышает 3 дб.