Примечания

1 (к § 7.1). Построение моделей канала с частотно-зависимыми переменными параметрами изложено в основном по работам [1, 2, 3]. Некоторые расхождения вызваны стремлением исключить нестрогости, имеющиеся в работах [1, 2], где авторы формально используют заведомо не существующее преобразование Фурье для неинтегрируемых с квадратом функции, а также без оговорок оперируют с сингулярными процессами, имеющими ограниченный спектр.

2 (к § 7.1). Представление функций с нестрого ограниченным спектром в виде ряда Котельникова (7.11) или (7.13) следует рассматривать как приближенное. Средняя квадратичная погрешность его определяется долей мощности разлагаемой функции, лежащей за пределами «граничной» частоты. Чем выше выбрана эта частота чем быстрее затухает спектр за ее пределами, тем точнее это представление (см., например, [22, 23]). Заметим, что если спектр сигнала убывает с ростом  быстрее, чем передаточная функция , то в качестве  в формуле (7.11) можно взять приближенную «граничную» частоту сигнала. То же относится к  в формуле (7.13).

3 (к § 7.1). Построенные модели канала рис. 7.2 и 7.4 охватывают также те случаи, когда сигнал (или отдельные его составляющие) получают допплеровское смещение частоты. Легко видеть, например, что если  а  то круговые частоты приходящего сигнала будут сдвинуты на . Вообще, если сигнал  проходит через канал с замираниями, то сигнал на выходе канала равен

где  определяет изменение огибающей, а  - изменение фазы. Производная  и представляет собой допплеровский сдвиг частоты. В модели селективных замираний, или в многолучевой модели, это относится к отдельным ветвям канала. Заметим, что именно допплеровское смещение частоты в отдельных лучах (вызванное, например, перемещением отражающих областей) и определяет в первую очередь интерференционные замирания.

4. (к § 7.1). Определение каналов I и II рода дано здесь по работе [6], а также по докладу П. Грина на Всесоюзной научной сессии НТОРиЭ им. А. С Попова в 1962 г. Несколько другое определение предложил В. И. Сифоров [5], который относит к каналам I рода такие, в которых полоса пропускания шире суммарной ширины спектра флюктуаций коэффициентов передачи всех лучей. Эти два определения по существу совпадают, если считать, что в канале произведена коррекция фазочастотной характеристики, так как в этом случае длительность отклика можно считать обратно пропорциональной полосе пропускания.

5. (к § 7.2). Приведем доказательство того, что среди постоянных линейных цепей с заданной амплитудно-частотной характеристикой  наименьшую среднюю квадратичную длительность отклика имеет цепь с линейной фазочастотной характеристикой. Пусть . Импульсная переходная функция цепи  является преобразованием Фурье от  и для физически реализуемых цепей  при . При физически реализуемой устойчивой цепи  и  интегрируемы с квадратом.

Производная  определяет фазовое запаздывание сигнала в цепи.

Введем следующие определения. Назовем средним фазовым запаздыванием

                 (7.69)

а средним квадратом фазового запаздывания

              (7.70)

Аналогично, средним групповым запаздыванием назовем

                         (7.71)

и средним квадратом группового запаздывания

                     (7.72)

Докажем прежде всего, что . С этой целью обозначим  и . Тогда  и  Отсюда

        (7.73)

где штрихи обозначают производные по .

Подставив (7.73) в (7.69), получим

          (7.74)

Но

Поэтому учитывая, что  — четная, a  — нечетная функция, получим

Подставляя этот результат в (7.74) и меняя порядок интегрирования (в допустимости чего легко убедиться), а также учитывая, что по теореме Планшереля

                   (7.75)

получим

      (7.76)

Далее, найдем зависимость между  и . Поскольку  является преобразованием Фурье от  то

     (7.77)

Подставив это выражение в (7.72) и учтя (7.75), получим

                           (7.78)

Среднюю квадратичную длительность отклика мы определили как

Легко видеть, что  или, учитывая (7.76) и (7.78):

    (7.79)

Второй член в правой части целиком определяется заданной амплитудно-частотной характеристикой цепи , а первый член неотрицателен. Следовательно,  достигает минимального значения, когда первый член равен нулю. Для этого необходимо, чтобы , т. е. чтобы фазочастотная характеристика цепи  была линейной.

Аналогичные соотношения между мгновенной частотой сигнала и его спектром получены в работе [24], из которой следует, что при заданной огибающей наименьшую ширину спектра имеет сигнал с постоянной мгновенной частотой.

6 (к § 7.3). Рассмотрим случай очень быстрых замираний  в предположении, что энергетический спектр флюктуаций строго ограничен и равномерен в полосе от 0 до  При этом корреляционная функция равна

Поскольку  в уравнении (7.33) можно верхний предел интеграла положить равным бесконечности. Решением его будет

             (7.80)

Пусть сигнал , где . Тогда фильтры на рис. 7.8, в имеют переходные функции, равные с точностью до постоянного коэффициента

Передаточная функция такого фильтра с большой точностью представляет собой П-образную функцию с полосой пропускания  со средней частотой  и с фазовым запаздыванием, равным Легко видеть, что на выходе сумматора в этой схеме в момент отсчета будет присутствовать сумма квадратов значений огибающей принимаемого сигнала, пропущенного через полосовой фильтр, взятых через котельниковский интервал . Очевидно, что такую схему можно заменить одним полосовым фильтром с последующим квадратичным детектором, просуммировав значение продетектированного напряжения с помощью интегратора, как показано на рис. 7.9. По-видимому, такая схема будет близка к оптимальной при очень быстрых замираниях с различным характером спектра флюктуаций, но фильтры должны быть в определенном смысле согласованы с этим спектром.

7 (к § 7.5). При оценке системного шума в приемнике широкополосных сигналов с выделением одного луча или со сложением лучей, мы полагали, что опережающие и запаздывающие лучи действуют на когерентный детектор (перемножитель) или на согласованный фильтр как гауссов шум. Это, безусловно, оправдано, если в качестве сигналов используются случайно выбранные реализации нормального процесса в заданной полосе частот. Возникает вопрос, нельзя ли специально подобрать ансамбль сигналов так, чтобы уменьшить системный шум.

Если речь идет о выборе одной реализации сигнала (например, для системы с пассивной паузой или с противоположными сигналами), то для полного уничтожения системного шума следовало бы потребовать, чтобы сигнал был ортогонален своей копии, сдвинутой на любой отрезок времени. Поскольку это невозможно, то обычно ограничиваются требованием того, чтобы при сдвиге на любой отрезок времени свыше некоторого минимального (порядка ) условие ортогональности выполнялось хотя бы приблизительно. При этом опережающие и запаздывающие лучи будут воздействовать на решающую схему (согласованную по времени с выбираемым лучом) значительно меньше, чем нормальный шум с такой же мощностью. Этому требованию удовлетворяют сигналы, промодулированные по фазе так называемыми кодами Варкера (см., например, [25]), либо псевдослучайной последовательностью импульсов, называемой также последовательностью максимальной длины [20].

Можно построить сигнал, у которого автокорреляционная функция представляет одиночный пик длительностью , т. е. обеспечить точную ортогональность сигнала с его копией, сдвинутой на любой интервал, не кратный периоду и превышающий . С этой целью сигнал модулируется в балансном модуляторе специальной последовательностью импульсов с переменной амплитудой [26]. Легко видеть, что получаемый при этом шумоподобный сигнал промодулирован как по амплитуде, так и по фазе.

Дополнительные сведения об оптимальном приеме сигналов в канале со случайно изменяющимися параметрами можно найти в работах [2, 3, 27].