6.3. Некогерентный оптимальный разнесенный прием

Рассмотрим, какой должна быть оптимальная решающая схема разнесенного приема при априорно неизвестном законе замираний, когда из-за большой скорости замираний, либо из-за неопределенности фазы при передаче, либо, наконец, вследствие ограниченных аппаратурных возможностей предсказание ожидаемых значений фазы и коэффициента передачи невозможно. В этих условиях совместная условная плотность приема сигналов   при передаче  и при определенных значениях  и  в ветвях приема выражается формулой (6.5). Однако поскольку значения  и  считаются заранее неизвестными, для нахождения правила решения воспользуемся обобщенным критерием максимума правдоподобия, т. е. потребуем, чтобы приемник принимал решение о том, что передавался сигнал , если

.      (6.25)

Но при фиксированных значениях ,  функции  являются взаимно независимыми (поскольку помехи в различных ветвях мы считаем независимыми). Кроме того, каждая из  зависит только от  и  с тем же индексом . Поэтому

.                       (6.26)

Подставив (6.26) в (6.25) и прологарифмировав, получим правило решения о том, что передавался сигнал  в следующей форме:

                      (6.27)

Согласно (5.48а)

,

где  - постоянная, не зависящая от .

Подставив это выражение в (6.27), найдем правило решения

              (6.28)

Для систем с активной паузой, когда  по всем , получим

              (6.29)

По этому правилу легко построить решающую схему, называемую схемой квадратичного сложения. Как было показано в гл. 4, величины  (или пропорциональные им) могут быть получены с помощью квадратурной схемы или с помощью согласованных фильтров и детекторов огибающей. На рис. 6.4 показана решающая схема с согласованными фильтрами при сдвоенном приеме.

Рис. 6.4. Схема квадратичного некогерентного сложения для системы с активной паузой.

В частном случае сдвоенного приема двоичных сигналов с активной паузой решающая схема может быть несколько иной. При этом неравенство (6.29) сводится к следующему правилу регистрации символа :

,

которое можно преобразовать следующим образом:

.                  (6.30)

Легко видеть, что для выполнения этого неравенства необходимо и достаточно, чтобы та из разностей  или , которая имеет наибольшую абсолютную величину, была положительной. Отсюда следует, что оптимальная решающая схема может быть построена следующим образом (рис. 6.5): величины  получаются таким же способом, как и в схеме рис. 6.4, затем образуются указанные разности и из них выбирается та, которая больше другой по абсолютной величине.

Рис 6.5. Схема выбора по максимуму правдоподобия.

Решение принимается в соответствии со знаком этой разности. При этом каждый элемент сигнала принимается фактически с помощью одной ветви, но в качестве этой ветви выбирается та, в которой разность  максимальна по абсолютной величине. Такой метод разнесенного приема назовем методом выбора по максимальному правдоподобию. Заметим, что при , а также при , но для недвоичных систем этот метод не является оптимальным.

Найдем вероятность ошибки при оптимальном квадратичном сложении для случая релеевских замираний в двоичной системе с активной паузой и ортогональными сигналами. Вероятность правильного приема при передаче некоторого символа  является вероятностью выполнения неравенства (6.29). Эту вероятность можно вычислить, зная плотность вероятностей суммы квадратов величин .

Исходя из (6.3), легко убедиться, что случайные величины  и , входящие в (4.25) и (4.29), имеют нормальное распределение вероятностей, попарно независимы для определенного индекса , имеют нулевые средние значения, а их дисперсии равны  при  и  при . Тогда правило решения можно переписать в следующем виде при приеме:

,

разделив обе части неравенства на , получаем

.

Здесь

и

.

Введем следующие обозначения:

Эти величины являются квадратичными формами нормальных случайных величин. В силу предположения об ортогональности в усиленном смысле сигналов  и  эти величины статистически независимы. Вероятность ошибочного приема определится как невыполнение неравенства (6.30), т. е. равна

.

Распределение величины  будет определяться следующим выражением:

                     (6.31)

где  - собственные значения матрицы  и определяются как решение уравнения

.                 (6.32)

Матрица квадратичной формы в рассматриваемом случае будет , а матрица корреляционных коэффициентов

  .

Вычисление элементов корреляционной матрицы дает

             (6.33)

где  - символ Кронекера;  - коэффициенты корреляции квадратурных составляющих коэффициентов передачи  и  ветвей приема, определяемый по формуле (6.1).

Легко убедиться, что при  матрица , а  при  и путем последовательного раскрытия неопределенностей в (6.31) можно получить распределение  в виде -распределения с  степенями свободы:

                     (6.34)

Вероятность ошибочного приема теперь можно найти, учитывая (6.31) и (6.34), из выражения

Изменяя порядок суммирования и интегрирования, а затем интегрируя по  и , получаем

.              (6.35)

Для наиболее интересного случая, когда имеют место независимые релеевские замирания сигналов в ветвях приема, решая (6.32) с учетом (6.33) при , находим, что  по всем . Подставляя  в (6.35) и последовательно раскрывая получающиеся в ней неопределенности, можно найти следующее выражение для вероятности ошибки:

.             (6.36)

Для случая сдвоенного приема двоичных сигналов, полагая в (6.36) , получаем

.                       (6.37)

Формулу (6.36) можно представить в более удобном виде, обозначив :

или

,             (6.38)

где  в соответствии с (5.17а) представляет вероятность ошибки при одиночном оптимальном некогерентном приеме, если .

При  можно полагать  и, учитывая известное тождество

,

получить простое приближенное выражение вероятности ошибок

.

На рис. 6.6 представлена зависимость вероятности ошибки от  в двоичных системах при сдвоенном, строенном и счетверенном приеме.

Рис. 6.6. Вероятность ошибок при квадратичном сложении в двоичных ортогональных системах (релеевские замирания).

Таким образом, вероятность ошибок оказывается приблизительно обратно пропорциональной мощности сигнала в степени .

При приеме на разнесенные антенны, когда  увеличение числа ветвей  уменьшает вероятность ошибки. При разнесении по частоте или по времени с увеличением  вероятность ошибок сначала уменьшается, а затем растет вследствие уменьшения .

В работе [5] приводятся результаты вычисления на электронной цифровой машине оптимального числа ветвей при частотном или временном разнесении в предположении, что . Это оптимальной значение  тем выше, чем больше энергия сигнала. Так, для  , а для  . Очевидно, что при  оптимальное число ветвей будет меньше указанных.

До сих пор мы рассматривали помехоустойчивость оптимального некогерентного приема в предположении некоррелированности коэффициентов передачи в различных ветвях. В действительности всегда существует некоторая корреляция, измеряемая коэффициентом взаимной корреляции между квадратурными составляющими , определяемыми по формуле (6.1).

В результате этого существует корреляция между величинами  и  при приеме символа , которую можно характеризовать коэффициентами корреляции их квадратурных составляющих, определяемых формулой (6.33).

Правило (6.29) получено в предположении априорно неизвестных величин  и . Совершенно естественно, что при заранее известном совместном распределении этих величин можно было бы без особого труда усреднением получить условную вероятность принимаемых сигналов, реализовать оптимальную в этом случае решающую схему и тем самым несколько улучшить помехоустойчивость приема. Однако такое определение оптимальной решающей схемы по своей практической ценности не выходит за рамки математических упражнений. На самом деле, если когерентный прием невозможен, т. е. невозможно предсказать  и , то также практически невозможно и предсказать величину  и нельзя серьезно говорить об использовании этих величин при оптимальной обработке.

Исходя из сказанного, практический смысл представляет решение вопроса о том, как влияет наличие корреляции между коэффициентами передачи в различных ветвях разнесенного приема на вероятность ошибки в некогерентной решающей схеме, построенной по правилу (6.29) [6].

Решим эту задачу для наиболее практически интересного случая, когда осуществляется сдвоенный прием двоичных ортогональных в усиленном смысле сигналов в системе с активной паузой. Вероятность ошибки в этом случае характеризуется общей формулой (6.35) для . Найдем собственные значения , решая уравнение (6.32), которое для рассматриваемого случая можно привести к виду

,

где .

Решая его, находим

.             (6.39)

Подставляя (6.39) в (6.35), после преобразований получаем

.                       (6.40)

При некоррелированных коэффициентах передачи, когда ,

,                       (6.40а)

что совпадает с ранее полученной формулой (6.37).

Если ,то

.                     (6.40б)

Для малых вероятностей ошибки, когда , можно пользоваться вместо (6.40) приближенным выражением

.                    (6.40в)

На рис. 6.7 показана зависимость вероятности ошибок при различных значениях . Как указывалось выше, полный коэффициент взаимной корреляции флюктуирующей части коэффициентов передачи . Как видно из рисунка, при  наличие корреляции почти не влияет на эффективность сдвоенного разнесенного приема. Даже при  сдвоенный прием обеспечивает энергетический выигрыш порядка 10 дБ по сравнению с одиночным приемом, и только при  эффективность сдвоенного приема существенно снижается.

Рис. 6.7. Вероятность ошибок при сдвоенном приеме двоичных ортогональных сигналов с учетом корреляции замираний.

Таким образом, наличие корреляции заметно влияет на эффективность сдвоенного приема только при , большем 0,7-0,8. Поэтому для приближенной оценки вероятности ошибок при разнесенном приеме можно пренебрегать корреляцией коэффициентов передачи в различных ветвях, если коэффициент корреляции не очень велик.

В реальных схемах разнесенного приема величины  чаще всего не превышает 0,6, хотя и очень редко бывает меньше, чем 0,2 [1]. Полученные результаты показывают, что дальнейшее уменьшение коэффициента корреляции путем существенного увеличения пространственного разнесения антенн или частного разноса не может дать заметного выигрыша.