4.2. Сопряженные сигналы, огибающая, мгновенная фаза и мгновенная частота. Ортогональность в усиленном смысле

При исследовании некогерентного приема нам понадобятся такие понятия, как огибающая сигнала, его мгновенная фаза и мгновенная частота. Эти понятия довольно широко применяются в инженерной практике, но не всегда понимаются однозначно. В этом параграфе даются определения, которые будут использованы в этой и последующих главах. Хотя такие определения и не являются наиболее общими, они удобны для принятой здесь математической модели сигнала и помехи и достаточны для решения поставленных задач.

Пусть элемент сигнала , заданный на интервале , может быть представлен на этом интервале рядом (3.2):

где .

Предположим, что все гармонические составляющие этого сигнала сдвинулись по фазе на некоторую величину . В результате получится сигнал

               (4.4)

где ряд

                                    (4.5)

называют сопряженным с рядом . Он получается из  поворотом фаз его составляющих на .

Выражение (4.4) можно записать в комплексной форме:

                                   (4.6)

Комплексную функцию

                                           (4.7)

назовем финитным аналитическим сигналом. Запишем аналитический сигнал в экспоненциальной форме:

                                                 (4.8)

Здесь

                               (4.9)

—    огибающая сигнала;

                                                       (4.10)

—   мгновенная фаза сигнала.

Производную по времени от мгновенной фазы называют мгновенной круговой частотой:

                                        (4.11)

Легко видеть, что

                                                                                          (4.12)

                                                                                                            (4.13)

Таким образом, все реализации сигнала  , отличающиеся только сдвигом фазы   составляющих ряда Фурье, имеют одинаковую огибающую и одинаковые мгновенные частоты, а их мгновенные фазы отличаются на .

Заметим, что приведенные определения огибающей и мгновенной частоты применимы к любому сигналу, выражаемому рядом (3.2), а не только к относительно узкополосным сигналам. Тем не менее представлением (4.12) особенно удобно пользоваться для узкополосных сигналов, так как в этом случае огибающая   и мгновенная частота  оказываются медленно меняющимися функциями времени, по сравнению с высокочастотным заполнением сигнала . Если  — произвольно выбранная круговая частота в пределах той полосы частот, в которой сосредоточена основная часть мощности узкополосного сигнала, то функция   также оказывается медленно меняющейся. При этом вместо (4.12) часто применяют такую запись:

                                                               (4.14)

Операцию преобразования функции  в ее огибающую  или в мгновенную частоту  называют идеальным амплитудным или соответственно частотным детектированием. Для элемента сигнала, заданного на интервале  эти операции физически реализуемы, если допустимо запаздывание на время, большее . Действительно, зная функцию  на всем этом интервале, можно определить ее коэффициенты Фурье (см. рис. 3.1) и построить сопряженную функцию  а затем воспроизвести (например, на         вычислительной машине)   и  пo формулам (4.9) и (4.11). Реальный «линейный» амплитудный детектор выделяет огибающую  поданного на него сигнала  (или некоторую монотонную функцию от ) при условии, что его нагрузка является безынерционной для огибающей и полностью инерционной для высокочастотного заполнения сигнала [1]. Очевидно, что эти условия противоречивы и могут быть выполнены лишь приближенно, с тем большей точностью, чем меньше отношение эффективной ширины спектра сигнала к его средней частоте. Аналогичное утверждение справедливо и для обычных частотных детекторов.

В дальнейшем будем рассматривать только сигналы с конечной базой, т. е. верхний предел суммирования в (3.2) и (4.5) будем считать сколь угодно большим, но конечным числом .

Сопряженные сигналы  и  ортогональны на интервале , т. е.

                                                                  (4.15)

В этом легко убедиться, подставив в этот интеграл (3.2) и (4.5) и произведя почленное интегрирование:

Если два сигнала  и  взаимно ортогональны, то и сопряженные с ними сигналы  и  также ортогональны между собой. Для доказательства этого достаточно, представив сигналы соответствующими тригонометрическими полиномами, перемножить их и произвести интегрирование, в результате которого получим

                      (4.16)

Однако из ортогональности сигналов  и  вообще говоря, не следует, что сигналы  и  (или и  будут также взаимно ортогональны. Действительно,

                (4.17)

и если правая часть (4.16) равна нулю, то правая часть (4.17) может и не равняться нулю. Если все же одновременно выполняются условия

                                                         (4.18)

то сигналы  и  называются ортогональными в усиленном смысле.

Примерами пар сигналов ортогональных в усиленном смысле являются (3.56), (3.58) и (3.59). Сигналы (3.55) и (3.57) ортогональны, но не в усиленном смысле. В этом легко убедиться, заменив любой из пары сигналов сопряженным и вычислив его скалярное произведение со вторым сигналом.

Заметим, что условие ортогональности в усиленном смысле можно записать с помощью аналитических сигналов:

,                                                      (4.18a)

где   - функция, комплексно сопряженная с

Система  сигналов называется ортогональной в усиленном смысле, если условия (4.18) выполняются для любой пары сигналов.