8.2. Оптимальный и субоптимальный прием при сосредоточенных помехах

В этом параграфе мы ограничимся простейшим случаем приема полностью известных сигналов. Пусть в канале существуют сосредоточенные помехи в виде гармонических колебаний с различными амплитудами, частотами и фазами, создаваемые независимыми источниками и остающиеся неизменными по крайней мере в течение некоторого отрезка времени , где  — длительность элемента сигнала. Не нарушая общности, можно принять , где  — целое число.

Представим принимаемый сигнал , передаваемые сигналы  и реализацию помехи  рядами Фурье на интервале :

                (8.1)

где ,  .

Число возможных реализаций сигнала  зависит от . Так, если система двоичная и любые последовательности символов возможны, то .

Для ансамбля реализаций помехи ,  — случайные величины. Полагая, что частоты сосредоточенных помех отстоят друг от друга в среднем на величину, значительно большую, чем , можно считать, что  взаимно независимы. Это допущение тем ближе к истине, чем больше . Кроме того, естественно полагать, что все  равномерно распределены на интервале  и независимы друг от друга и от . Распределение вероятностей  зависит от конкретных условий в канале, и мы не будем налагать на него особо ограничивающих требований. Его удобнее всего характеризовать плотностью распределения величин , которую обозначим . Эту функцию будем полагать непрерывной и имеющей по крайней мере первую производную. Легко видеть, что не нарушая сделанных допущений, можно включить в состав  также флюктуационную помеху в виде белого шума, изменив соответствующим образом функции .

Функция правдоподобия для некоторой реализации сигнала (последовательности  элементов)  очевидно, равна

       (8.2)

а ее логарифм

     (8.3)

где

.

Оптимальная по критерию максимума правдоподобия решающая схема должна выбирать ту из реализаций сигнала , для которой  при всех . Функциональная схема, осуществляющая этот выбор, показана на рис. 8.1. Из принимаемого сигнала в каждой из  ветвей вычитается соответствующая реализация передаваемого сигнала и полученная разность подается на гребенку фильтров, согласованных с отрезком косинусоиды  длительностью .

Напряжение на выходе каждого фильтра к моменту отсчета равно . После возведения в квадрат полученные напряжения поступают на нелинейные безынерционные четырехполюсники с характеристиками  Сложив выходы этих четырехполюсников каждой из  ветвей, получим логарифмы функций правдоподобия (8.3), из которых схема сравнения выбирает наибольший.

Характерной особенностью такой схемы является то, что принятый сигнал анализируется сразу на протяжении достаточно большого отрезка времени  и решение принимается не поочередно о каждом кодовом символе, а о последовательности из  символов. Это вполне естественно, поскольку существенным отличием рассматриваемой помехи от флюктуационной является неизменность ее составляющих в течение длительного времени, и только использование этого отличия позволяет частично подавить помеху. Величина  предопределяет и сложность схемы. Как легко убедиться, число элементов такой схемы приблизительно пропорционально . Существенно упростить полученную схему, сохранив ее оптимальность в общем случае не удается.

Рис. 8.1. Оптимальная решающая схема для канала с сосредоточенными помехами:  — фильтры, согласованные с отрезками косинусоиды  длительностью ;  — нелинейные безынерционные четырехполюсники с характеристиками

Можно построить более простую схему, являющуюся асимптотически оптимальной, когда отношение мощности сигнала к мощности помехи на каждой из частотных составляющих стремится к нулю. При конечной мощности сигнала эту схему можно считать субоптимальной.

С этой целью, полагая в (8.3) , разложим функцию  в ряд Тейлора и ограничимся первыми двумя членами:

   (8.4)

Первый член (8.4) не зависит от индекса . Поэтому приближенное правило решения можно записать в следующем виде:

          (8.5)

при всех .

Обозначим  и перепишем (8.5) в следующем виде:

                              (8.6)

Согласно теореме Парсеваля

                  (8.7)

где

            (8.7а)

Это позволяет записать правило решения так:

          (8.8)

Если любые сочетания элементов сигнала возможны, то неравенство (8.8) эквивалентно  неравенствам вида

                   (8.9)

где  представляет собой один элемент сигнала. Таким образом, если полагать  известными, то правило решения (8.8) реализуется поэлементным приемом. В действительности для определения  необходимо проанализировать приходящий сигнал на интервале . Поэтому субоптимальная решающая схема состоит из двух частей. В первой анализируется принимаемый сигнал  на протяжении времени  определяются величины  и формируется «корректированный» сигнал .

Рис. 8.2. Решающая схема для канала с сосредоточенными помехами

при слабом сигнале:  — фильтры, согласованные с отрезками косинусоиды  длительностью ;  — нелинейные безынерционные четырехполюсники с характеристикой ,  — фильтр, согласованный с .

Во второй части реализуется правило (8.9) и поочередно определяются принятые кодовые символы. Эта часть целиком совпадает с решающей схемой при флюктуационной помехе, с той лишь разницей, что вместо принятого сигнала  на вход подается  (рис. 8.2).

В частном случае, когда помеха представляет собой нормальный белый шум,  где  — постоянная,  — дисперсия помехи. Тогда

 и

Таким образом,  оказывается постоянной и решающая схема совпадает с полученной в  гл. 3. В случае гауссовской помехи с неравномерным спектром величины  не зависят от  , но различны для разных индексов . Если учесть, что схема рис. 8.2 получена для слабых сигналов, когда , , легко убедиться, что она сводится к уже известной из гл. 3 схеме с «обеляющим» фильтром (3.71).

В общем случае составляющие сосредоточенной помехи имеют распределение, отличное от нормального, и поэтому коэффициенты  зависят от . Во многих  радиоканалах, согласно наблюдениям, распределение вероятностей квадрата амплитуды  сосредоточенной помехи близко к нормально-логарифмическому:

       (8.10)

где  — медианное значение , а  — среднее квадратичное отклонение величины . Безразмерная величина  в зависимости от загрузки диапазона и других конкретных условий лежит в пределах от 2 до 5. При этом

                         (8.11)

Учитывая, что величина  имеет нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и дисперсией , можно утверждать, что с вероятностью порядка 0,7

Поэтому при достаточно больших  в первом приближении

                           (8.11а)

В этом случае величины  могут быть найдены без априорных сведений о медианных значениях . Формируемый при этом сигнал  имеет амплитуды спектральных составляющих, обратно пропорциональные амплитудам соответствующих составляющих сигнала .

Мы не будем пытаться вычислять вероятность ошибок в рассмотренных схемах, поскольку это сопряжено с большими трудностями. В качестве косвенной оценки степени подавления сосредоточенных помех определим величину выигрыша в отношении энергии сигнала к средней спектральной плотности помехи при преобразовании  в . Этот выигрыш достаточно хорошо характеризует увеличение помехоустойчивости при переходе от схемы приемника Котельникова, оптимального при белом гауссовском шуме, к схеме, оптимальной или субоптимальной при сосредоточенных помехах. При этом ограничимся субоптимальной схемой рис. 8.2.

Мощность полезного сигнала, содержащегося в , равна

Мощность помех в  равна . Число членов в этих суммах равно , где  — условная полоса частот, занимаемая сигналом. Отношение энергии элемента сигнала к средней спектральной плотности помехи равно

                    (8.12)

После преобразования принимаемого сигнала в , в соответствии с (8.7а), мощность сигнала окажется равной , а мощность помехи равной  поэтому отношение энергии элемента сигнала к средней спектральной плотности помех в  будет равно

               (8.13)

Выигрыш при таком преобразовании равен

    (8.14)

Если  (сигнал AT или ФТ при анализе помех на протяжении лишь одного элемента сигнала), то

т. е. никакого подавления помех не произойдет.

Рассмотрим другой крайний случай, когда . Разделив числитель и знаменатель (8.14) на  и обозначив волнистой чертой усреднение по всем частотным составляющим, получим

                      (8.15)

С увеличением  средние значения в числителе и знаменателе (8.15) стремятся по вероятности к соответствующим математическим ожиданиям, так что при

Полагая, как и прежде, что  можно считать  и  независимыми величинами, следовательно,

      (8.16)

В случае, когда  имеет нормально-логарифмическое распределение (8.10), причем все  одинаковы, а величины  определяются по приближенной формуле (8.11а), легко подсчитать, что

и окончательно

                           (8.17)

При значениях  от 2 до 4, выигрыш  колеблется в пределах . Это значит, что даже субоптимальная схема подавляет сосредоточенные помехи практически полностью, если величина  достаточно велика.

Величина  определяется интервалом времени, в течение которого мощности составляющих сосредоточенной помехи можно считать постоянными, и обычно бывает небольшой. Поэтому для возможности достаточно эффективного подавления сосредоточенных помех следует применять широкополосные плотные сигналы с большой базой . Это могут быть импульсные сигналы, отличные от нуля лишь на небольшой части длительности элемента , либо шумоподобные сигналы [5], о которых говорилось в гл. 7. Иногда удобно формировать широкополосный сигнал из простого узкополосного сигнала с помощью разнесения по частоте.

В последнем случае возможен еще более простой, хотя и более далекий от оптимального, способ приема, основанный на выборе той ветви разнесения, на которой сосредоточенная помеха имеет наименьшую мощность. Это значит, что в правиле приема (8.6) величины  определяются не по формулам (8.11), а считаются равными единице для той составляющей, на которой сосредоточенная помеха минимальна, и нулю для остальных составляющих.

В работе [4] рассмотрен этот метод для случая, когда сигнал и сосредоточенные помехи подвержены релеевским замираниям, что довольно хорошо описывает ситуацию в коротковолновых радиоканалах. Это значит, что амплитуда  составляющей сосредоточенной помехи имеет условную плотность распределения

где — случайная величина, подчиняющаяся распределению (8.10). Показано, что и в этой ситуации можно получить весьма существенное подавление сосредоточенных помех.