9.5. Комбинационные системы уплотнения

Ортогональные системы

Для передачи  сообщений, каждое из которых закодировано кодом с основанием , элемент сигнала в уплотненном канале должен иметь реализаций. Если все эти реализации взаимно ортогональны, то получается комбинационная ортогональная система уплотнения.

Минимальную условную полосу частот такого сигнала можно определить так же, как и при ортогональных разделимых системах, приравнивая  базе сигнала  или  для ортогональных сигналов соответственно в общем или в усиленном смысле. В результате получим

                      (9.24)

для ортогональности в обычном смысле и

                      (9.25)

для ортогональности в усиленном смысле.

Наибольший интерес для практики представляют комбинационные системы, ортогональные в усиленном смысле. Примером является широко распространенная система ДЧТ (двойное частотное телеграфирование), в которой  и четыре реализации сигнала представляют собой отрезки синусоид с различными частотами. Ортогональность в усиленном смысле здесь обеспечивается, если эти частоты кратны . Для приближенной ортогональности в усиленном смысле достаточно, чтобы разности частот существенно превышали . Аналогично могут быть построены ортогональные системы многократной частотной телеграфии МЧТ, в которых используются  сигналов в виде отрезков синусоид на различных частотах. Если разность соседних частот равна , то реализуется минимальная условная полоса частот (9.25).

Сравнивая (9.25) с (9.17), видим, что только в случае  разделимая и комбинационная ортогональные системы занимают одинаковую полосу частот (если не считать тривиальный случай ). Во всех остальных случаях ортогональные комбинационные системы занимают более широкую полосу частот, чем разделимые, причем эта разница быстро возрастает с увеличением кратности уплотнения .

Решающая схема для комбинационной системы, основанная на правиле (9.3), т. е. минимизирующая общую вероятность ошибок  ничем не отличается от решающей схемы для неуплотненной системы с основанием кода . Необходимо только после отождествления передававшейся реализации сигнала сформировать соответствующие ей символы для всех сообщений.

Значительно более сложна решающая схема, основанная на правиле (9.5), минимизирующем . В соответствии с (9.5) здесь приходится суммировать значения апостериорных вероятностей либо величины, пропорциональные им. При равновероятных символах можно суммировать величины, пропорциональные функциям правдоподобия. Но в обычных решающих схемах например, в квадратурной схеме или на выходе согласованного фильтра) получаются напряжения, не пропорциональные функции правдоподобия, а только монотонно зависящие от нее. Поскольку в схеме, основанной на правиле (9.3),достаточно сравнить между собой функции правдоподобия, то это можно заменить сравнением монотонно зависящих от них величин. Используя же правило (9.5), необходимо преобразовать полученное напряжение (например, значение огибающей на выходе согласованного фильтра) в величину, пропорциональную функции правдоподобия. В канале без замираний при некогерентном приеме для этого нужно согласно (4.27) получить функцию .

Рис. 9.4. Решающие схемы для некогерентного приема сигналов комбинационной системы, минимизирующие общую вероятность ошибок (а) и вероятности ошибок в каждом сообщении (б).

На рис. 9.4 изображены функциональные решающие схемы для комбинационной системы, построенные по двум рассмотренным правилам. Для упрощения взят случай  (например, ДЧТ). Читатель легко может построить аналогичные схемы для произвольных  и .

Вероятности ошибок в ортогональной в усиленном смысле комбинационной системе при некогерентном приеме легко вычисляются, если используется правило (9.3), минимизирующее общую вероятность ошибок .

Для вычисления  достаточно воспользоваться полученными ранее формулами, относящимися к обычным ортогональным в усиленном смысле системам, заменив в них основание когда  на . Так, например, для канала с медленными релеевскими замираниями на основании (5.16б)

.                              (9.26)

Для вычисления вероятности ошибки в сообщении , при том же правиле решения, заметим, что рассматриваемая система симметрична. Если общий сигнал принят ошибочно, то он с одинаковой вероятностью может быть отождествлен с любой из остальных  реализаций. Но среди этих реализаций имеется  таких, которым соответствует тот же символ в - м сообщении, который действительно передавался. Если принятый сигнал будет отождествлен с одной из этих реализаций, то ошибки в -м сообщении не будет. Поэтому условная вероятность ошибки в -м сообщении при условии ошибочного отождествления сигнала равна

и

.                 (9.27)

В частном случае для ДЧТ ()

.                       (9.27а)

Из симметричности системы следует, что вероятности ошибок  не зависят от манипуляционного кода, т. е. от того, как сопоставлены реализации сигнала с сочетаниями символов сообщений. Очевидно также, что ошибки в различных сообщениях ортогональной комбинационной системы равновероятны и коррелированы между собой.

Значительно труднее вычислить вероятности ошибок при использовании правила (9.5). Ограничимся лишь оценкой для , которая является уточнением (9.8). Из (9.7) и (9.27) можно получить

,                    (9.28)

где обозначения такие же, как и в (9.7).

Таким образом, переход от решающей схемы, основанной на правиле (9.3), к значительно более сложной схеме, основанной на (9.5), может уменьшить вероятность ошибки в отдельном сообщении не более чем в  раз, в частности для ДЧТ — не более чем

в 4/3 раза. В то же время возрастет вероятность  того, что хотя бы в одном сообщении возникнет ошибка.

В заключение этого раздела приведем некоторые формулы для вероятностей ошибки  при правиле решения (9.3) для систем с  (в частности, для ДЧТ). В канале без замираний при некогерентном приеме из (4.48) и (9.27)

.                       (9.29)

При медленных релеевских замираниях

,                        (9.30)

Приближенные равенства относятся к случаю .

На рис. 9.5 изображена зависимость вероятности ошибок от  в канале с релеевскими замираниями для ортогональных комбинационных систем. Для сравнения пунктиром приведены зависимости для ортогональной разделимой системы при относительной фазовой манипуляции индивидуальных сигналов. При  комбинационные системы имеют явное преимущество.

Рис. 9.5. Вероятности ошибок  в канале с релеевскими замираниями: _______ комбинационные ортогональные системы; ------------ разделимые ортогональные системы ОФТ.