10.7. Субоптимальный прием в целом для кодов, допускающих мажоритарное декодирование

При поэлементном приеме, основанном на критерии максимального правдоподобия, по каждой величине , полученной в результате демодуляции, определяется символ, имеющий наибольшую функцию правдоподобия. При оптимальном приеме в целом функции правдоподобия определяются для всех разрешенных кодовых комбинаций по всей совокупности случайных величин . Это приводит к необходимости перебора большого числа неравенств вида (10.8а), что обусловливает сложность технической реализации приема в целом.

Пусть  — информационный символ систематического -кода. При поэлементном приеме принимается решение о том, что , если

             (10.41)

При оптимальном приеме в целом решение о регистрации буквы  (т. е. о всей совокупности информационных символов комбинации) принимается, если

                  (10.42)

для всех .

Естественно, возникает мысль о возможности построения таких правил приема, при которых функция правдоподобия определяется для каждого информационного символа отдельно, но, в отличие от поэлементного приема, на основании анализа всей совокупности величин . При этом решение о том, что , должно приниматься, если

.                  (10.43)

Но величины  зависят не только от символа , но и от всех остальных информационных символов  переданной кодовой комбинации. Здесь учитываются только информационные символы, поскольку проверочные символы определяются ими однозначно. Если априорные вероятности информационных символов известны, то функции правдоподобия в (10.43) можно понимать как средние по всем значениям . Однако более простую решающую схему для одного достаточно широкого класса кодов можно получить, если не учитывать априорные вероятности символов, а воспользоваться обобщенным критерием максимального правдоподобия и вместо (10.43) применить следующее субоптимальное правило решения о том, что :

                   (10.44)

где максимумы в левой и правой частях берутся раздельно по всем возможным значениям информационных символов.

Коды, о которых идет речь, представляют собой двоичные коды, допускающие мажоритарное декодирование с разделенными проверками [8]. Это значит, что для каждого информационного символа  можно составить систему уравнений

                         (10.45)

где  — некоторые символы кодовой комбинации, причем каждый из них входит в правую часть системы не более одного раза. Сложение в (10.45) подразумевается по модулю 2.

Обычное (дискретное) мажоритарное декодирование основано на том, что если в правые части (10.45) подставить значения символов, определенные в первой решающей схеме, то в случае отсутствия ошибок они все дадут один и тот же результат для . При наличии ошибок в первой решающей схеме часть уравнений («проверок») даст результат , а часть — результат . Окончательное решение принимается по большинству этих результатов, откуда и происходит название «мажоритарное декодирование». К  уравнениям (10.45) обычно добавляется еще тривиальная проверка:

.                      (10.45а)

Очевидно, что при сделанных предположениях такой метод позволяет исправить ошибки любой кратности до .

Субоптимальный прием в целом, или аналоговое декодирование для мажоритарных кодов, использует правило, получаемое путем преобразования (10.44) с учетом связей между символами, определяемых разделенными проверками (10.45). В работе [9] показано, что если  являются независимыми гауссовскими величинами (что имеет место, например, при когерентном приеме в канале с нормальным белым шумом), то значение символа  должно определяться знаком выражения

                            (10.46)

где  — результат демодуляции символа, обозначенного  в системе проверок (10.45), ; ;  — наименьший из модулей  при данном . В работе [10] рассмотрен случай, когда  являются независимыми величинами с биполярным экспоненциальным распределением, что соответствует приему сигнала с релеевскими замираниями при декорреляции ошибок. При этом правило (10.46) остается в силе. Там же получена оценка вероятности ошибочного аналогового декодирования символа, которую при независимости ошибок можно рассматривать как эквивалентную вероятность ошибки:

                   (10.47)

где  — вероятность ошибки в первой решающей схеме.

Анализ этого результата для некоторых кодов показал, что по помехоустойчивости такой субоптимальный прием лишь незначительно уступает оптимальному приему в целом. Сравнение (10.47) с эквивалентной вероятностью ошибки при поэлементном приеме с последующим исправлением ошибок мажоритарным методом показало [10], что переход к аналоговому декодированию примерно эквивалентен увеличению числа проверок вдвое. Это весьма значительный выигрыш.

Описанный метод аналогового мажоритарного декодирования применим не только к блочным, но и к рекуррентным кодам, для которых можно составить систему проверок (10.45) в частности, для описанного в гл. 2 цепного кода. При рекуррентных кодах, а также при блочных циклических кодах этот метод особенно удобен, так как значения последовательных информационных символов определяются с помощью одного и того же алгоритма путем циклического или непрерывного сдвига величин .

Можно показать (см. примечание 4), что правило (10.46) следует из критерия максимального правдоподобия (10.44) при любом распределении результатов демодуляции  при условии, что величины  пропорциональны логарифму отношения правдоподобия для элемента сигнала. Это условие обычно легко выполняется.

Для сравнения различных методов приема на рис. 10.10 приведена зависимость вероятности ошибочного приема  комбинации кода (7,3) от вероятности ошибки  в первой решающей схеме. Результаты для оптимального приема в целом, приема по методу Бородина и по методу Вагнера получены с помощью статистического эксперимента [5], а для субоптимального мажоритарного приема в целом по алгоритму (10.46) - согласно оценке сверху, полученной в работе [9]. Вероятность ошибки  на протяжении кодовой комбинации полагается неизменной.

Рис. 10.10. Сравнение методов приёма сигналов при коде (7,3): 1 – поэлементный приём с исправлением ошибок; 2 – метод Вагнера; 3 – метод Бородина; 4 – приём по правилу (10.46); 5 – оптимальный приём в целом.