4.7. Пропускная способность канала с неопределенной фазой

Флюктуации фазы сигнала снижают пропускную способность канала, поскольку два сигнала, отличающиеся только начальной фазой, оказываются неразличимыми, даже при отсутствии аддитивной помехи. Рассмотрим случай, когда начальная фаза принимаемого сигнала не известна и может с равной вероятностью принимать любые значения от 0 до , но на протяжении передачи всего сообщения не изменяется. Будем исходить из выражения (3.84) для пропускной способности канала с полностью известными сигналами. Пусть для такого канала существует некоторая система сигналов  длительностью  и со средней мощностью , которые представим в следующем виде:

С помощью таких сигналов можно в идеальном канале передавать информацию с некоторой скоростью . Данную систему сигналов можно рассматривать как две независимые системы:

и

передаваемые одновременно. Средняя мощность сигналов  или  равна . Очевидно, половина передаваемой информации переносится сигналами , а вторая половина — сигналами .

В канале с известной и неизменной начальной фазами указанные две системы сигналов легко отделяются с помощью фазовой селекции. В канале с неопределенной фазой такое разделение, вообще говоря, невозможно.

Действительно, если, например, , то сигналы  и  при некогерентном приеме будут неразличимы. Однако если ограничиться передачей только сигналов  [или только ], то их можно отличить друг от друга и при некогерентном приеме.

Это утверждение можно обосновать следующим образом. Будем рассматривать сигналы  как точки в -мерном пространстве (где — база сигналов). Тогда сигналы  и  являются проекциями  на два взаимно ортогональных -мерных пространства  и . Сдвинув все фазы составляющих  на , можно совместить эти сигналы с подпространством . Если сдвинуть фазы всех составляющих какого-либо из сигналов на угол , изменяющийся от 0 до , то соответствующая точка опишет окружность, лежащую в плоскости, перпендикулярной к подпространству . Точки, лежащие на этой окружности, при некогерентном приеме неразличимы.

Но разным сигналам  соответствуют различные непересекающиеся окружности. Поэтому все сигналы , если они различимы при когерентном приеме, остаются различимыми и при некогерентном приеме. То же относится к системе сигналов .

Таким образом, идеальный канал с точно известными параметрами сигналов, имеющих мощность , можно представить как суперпозицию двух каналов с неопределенной фазой, в каждом из которых сигналы имеют мощность  и передается половина всей информации. Отсюда пропускная способность  канала с неопределенной фазой должна равняться половине пропускной способности идеального канала при удвоенной мощности сигнала, или на основании (3.84)

                       (4.112)

При

где  — пропускная способность идеального канала; при

Таким образом, при слабых сигналах пропускная способность канала с неопределенной фазой почти не отличается от пропускной способности идеального канала. С увеличением же мощности сигнала разница между этими пропускными способностями возрастает, и в пределе пропускная способность из-за неопределенности фазы уменьшается вдвое. Этот результат не является неожиданным. При слабых сигналах небольшие различия в начальной фазе двух сигналов маскируются помехой и поэтому идеальный канал с полностью известной фазой приходящего сигнала не имеет существенных преимуществ (в смысле различимости сигнала) перед каналом с неопределенной фазой. С увеличением мощности сигнала появляется возможность лучше различать фазы сигналов в идеальном канале, что и приводит к существенной разнице в пропускных способностях.

Если заданы мощность сигнала  и спектральная плотность шума , а полоса частот  не ограничена, то наибольшая предельная пропускная способность при  может быть определена из (4.112) с учетом того, что

                                (4.113)

что совпадает с полученным ранее выражением (3.85) для идеального капала.

Вопрос о том, можно ли указать регулярный метод выбора сигналов, обеспечивающих достижение пропускной способности (4.112), в общем случае не решен. Однако для канала с неограниченной полосой пропускания такой метод существует. Докажем, что при заданных

мощности сигнала и спектральной плотности помех система сигналов, ортогональных в усиленном смысле, обеспечивает пропускную способность (4.113). Это значит, что для системы из  ортогональных в усиленном смысле сигналов вероятность правильного приема при достаточно большом  превышает , где  — сколь угодно малое положительное число, если

                                            (4.114)

Будем исходить из выражения (4.46) для вероятности правильного приема  при оптимальном некогерентном правиле решения:

где

Используя интегральное представление модифицированной функции Бесселя, запишем его в следующем виде:

Обозначив , а затем  получим

                 (4.115)

Определим при заданном  число  так, что

                                                     (4.116)

Поскольку подынтегральная функция в (4.115) не отрицательна и , имеем

          (4.117)

Выберем . Тогда  и выражение, заключенное в фигурные скобки в (4.117), будет возрастающей функцией  при . Поэтому при замене  на  правая часть (4.117) не увеличится и

или, учитывая (4.116),

                 (4.118)

Если выполнено условие (4.114), то можно найти такое , при котором

или

                            (4.119)

Задавшись достаточно малой величиной , удовлетворяющей условию (4.119), можно найти такое  при котором

                                         (4.120)

Тогда учитывая, что

При

                           (4.121)

Из (4.118) и (4.121)

Учитывая, что  получим

Положив  получим окончательно, что при

что и требовалось доказать.

Напомним, что исходная формула (4.46) была получена в предположении, что за время  начальная фаза сигнала практически остается неизменной. Поскольку в приведенном доказательстве предполагалась возможность выбирать величину  сколь угодно большой, то оно справедливо только для канала, в котором фаза сигнала не флюктуирует, но остается неизвестной при построении решающей схемы, так что возможен только некогерентный прием.

Для случая, когда начальная фаза сигнала флюктуирует достаточно быстро, вычисление пропускной способности канала наталкивается на большие трудности. С целью получения оценки этой пропускной способности снизу можно прибегнуть к следующему рассуждению. Выберем достаточно малый интервал времени , на протяжении которого фаза практически не флюктуирует, и будем передавать сообщение с помощью последовательности двоичных сигналов длительностью . Кодирование в дискретном канале будем производить, объединяя достаточно длинные последовательности информационных символов, обеспечив заданную (сколь угодно малую) вероятность ошибки декодирования при скорости передачи, сколь угодно близкой к пропускной способности дискретного канала (2.28). В натуральных единицах эту пропускную способность можно записать в следующем виде:

                       (4.122)

где  — вероятность ошибки в дискретном канале, зависящая от

Максимальная пропускная способность дискретного симметричного двоичного канала будет иметь место, когда вероятность ошибки минимальна. Последнее обеспечивается при некогерентном приеме выбором системы ОФТ, для которой . Выразив  через  и подставив в (4.122) значение вероятности ошибки, найдем

                   (4.123)

Изменяя величину  (так, чтобы она оставалась меньше ), мы будем изменять и .

В отличие от случая канала с постоянной фазой, где скорость передачи информации при двоичном кодировании (3.97) монотонно возрастает с уменьшением , здесь имеется оптимальное значение , при котором (4.123) достигает максимума. Анализ выражения (4.123) показывает [25], что этот максимум имеет место при . Это соответствует оптимальному значению

Если мощность сигнала достаточно велика, так что , то выберем длительность сигнала равной . Подставив в (4.123) , найдем

                             (4.124)

Таким образом, пропускная способность канала с флюктуациями фазы и с неограниченной полосой пропускания не меньше чем  от пропускной способности канала с постоянными параметрами, если мощность сигнала и скорость флюктуаций таковы, что за время

фаза практически не изменяется. Случай, когда последнее условие не выполняется, требует отдельного рассмотрения.