10.8. Условия целесообразности использования кодов с избыточностью

Внесение избыточности при кодировании сообщения, если основание кода  задано, приводит к необходимости либо увеличивать время, отводимое для передачи данного сообщения, либо сокращать длительность элемента сигнала. В обоих случаях можно было бы передать за то же время сообщение с помощью кода без избыточности, увеличив соответственно длительность элемента.

В большинстве случаев уменьшение длительности элемента приводит к возрастанию вероятности ошибки. Так, например, при флюктуационных помехах это увеличение вероятности ошибок вызвано уменьшением энергии сигнала, а при сосредоточенных помехах — и расширением полосы частот, занимаемой сигналом. Поэтому вероятность ошибочного приема элемента при коде с избыточностью обычно больше, чем при коде без избыточности. Если это повышение вероятности ошибок не компенсируется исправляющей способностью кода, то внесение избыточности не повышает, а понижает верность приема. В связи с этим возникает вопрос о том, каким условиям должен удовлетворить код с избыточностью, чтобы его использование позволило повысить верность приема, по сравнению со случаем кодирования без избыточности, при том же времени передачи сообщения и той же мощности сигнала.

Ответ на этот вопрос зависит от характеристик канала и применяемой системы сигналов. Чем резче увеличивается вероятность ошибки с укорочением элемента, тем труднее скомпенсировать возрастание ошибок избыточностью кода. Так, например, в гл. 7 было показано, что в каналах с многолучевым распространением сокращение длительности элемента до величины порядка разности хода лучей приводит к очень резкому возрастанию вероятности ошибок. В этих условиях применять код с избыточностью и сокращать при этом длительность элемента явно нецелесообразно. Более правильным решением было бы применение кода с большим основанием , позволяющего увеличить длительность элемента при той же скорости передачи информации.

В некоторых случаях вероятность ошибки не возрастает или очень мало возрастает при укорочении длительности элемента сигнала. Так, в канале с относительно быстрыми замираниями сокращение длительности элемента хотя и уменьшает его энергию, но одновременно увеличивает корреляцию между значениями коэффициента передачи для соседних элементов. Поскольку эти два фактора действуют в противоположных направлениях, то в этих условиях укорочение элемента приводит обычно лишь к небольшому увеличению вероятности ошибки, а иногда (особенно для систем ОФТ) даже к ее уменьшению. При мощных, но редких и коротких импульсных помехах вероятность ошибок практически не зависит от длительности элемента. При коммутационных помехах (кратковременных обрывах связи), характерных для многих кабельных каналов, вероятность ошибки растет с технической скоростью передачи не быстрее, чем линейно (за счет увеличения числа элементов, попадающих на один обрыв). Во всех этих случаях применение корректирующих кодов, как правило, повышает верность.

В дальнейшем в этом параграфе ограничимся случаем двоичных кодов в канале с флюктуационной помехой.

Найдем условие целесообразности применения кода с избыточностью в системе с активной паузой при когерентном приеме в целом. Пусть средняя мощность сигнала и время, отведенное для передачи буквы сообщения (кодовой комбинации) , заданы. Сравним условия приема при коде с избыточностью, каждая кодовая комбинация которого содержит  элементов, из которых  являются информационными, и при коде без избыточности, в котором кодовая комбинация содержит  элементов.

Помехоустойчивость такой системы достаточно хорошо характеризуется минимальным котельниковским расстоянием между двумя кодовыми комбинациями

                 (10.48)

где  и  — сигналы, соответствующие двум кодовым комбинациям (см. гл. 3).

В случае кода без избыточности пара ближайших кодовых комбинаций отличается только одним элементом. Поэтому на протяжении одного элемента подынтегральная функция в (10.48) отличается от нуля и равна . Так как длительность элемента в коде без избыточности равна , то

,                (10.49)

где  — средняя мощность, одинаковая для всех элементов сигнала:  — коэффициент, зависящий от соотношения между сигналами  и  (3.61а).

В случае кода с избыточностью две ближайшие кодовые комбинации отличаются в , элементах, на протяжении которых подынтегральная функция в (10.48) отлична от нуля.

Так как длительность элемента при этом коде равна , то

                            (10.50)

Следовательно,  в том случае, если

или

.                   (10.51)

Если это условие не выполнено, то переход к коду с избыточностью приведет не к увеличению, а к уменьшению помехоустойчивости.

Условию (10.51) удовлетворяют многие, но далеко не все систематические коды. Так, например, код, в котором ,  и , не удовлетворяет этому условию, хотя он и принадлежит к классу оптимальных кодов, по Слепяну [11]. То же относится к коду с ,  и  и к ряду других.

Более жесткие условия должны быть наложены на параметры кода в случае поэлементного приема с исправлением ошибок, Для их вывода удобно воспользоваться понятием эквивалентной вероятности ошибок  корректирующего кода, введенным в гл. 2. Очевидно, код с избыточностью целесообразно применять только в том случае, если

,                     (10.52)

где  обозначает вероятность ошибок, которая имела бы место при использовании кода без избыточности с сохранением скорости передачи информации.

Пусть код позволяет исправить все ошибки кратностью  и меньше и не исправляет ошибок кратностью . При достаточно малых вероятностях ошибок , как легко убедиться, эквивалентная вероятность ошибки для систематического  кода асимптотически равна

 (10.53)

где

В случае когерентного приема

                           (10.54)

Здесь учтено, что при переходе от кода с избыточностью к примитивному коду энергия сигнала увеличивается в  раз.

Воспользовавшись асимптотическим выражением для , из (10.53) и (10.54) можно получить [12]

                          (10.55)

где  - избыточность кода.

Если , то правая часть (10.55) неограниченно возрастает и условие (10.52) не выполняется. Если, наоборот,  то предел правой части равен нулю и при достаточно больших  неравенство (10.52) будет выполнено. Таким образом, условием целесообразности применения избыточного кода при поэлементном когерентном приеме является

                         (10.56)

В случае некогерентного приема для ортогональных сигналов с активной паузой в [12] получено следующее выражение:

                           (10.57)

откуда условием целесообразности применения кода будет

                   (10.58)

Как легко проверить, из всех известных групповых кодов с  лишь очень немногие удовлетворяют этим условиям. Но и для них значение , при котором выполняется неравенство (10,52), очень велико. По-видимому, избыточные коды дают заметный реальный выигрыш в канале с флюктуационными помехами лишь начиная от  порядка нескольких десятков.