5.3. Память в канале с медленными замираниями. Некоторые вопросы кодирования

В предыдущем параграфе были вычислены вероятности ошибочного приема элемента сигнала для различных систем связи при замираниях. Сравнение этих результатов с полученными в гл. 3 и 4 (при отсутствии замирания) показывает, что вероятность ошибок в канале с замираниями (особенно с релеевскими) значительно превосходит вероятность ошибок в канале без замираний при том же отношении средней энергии сигнала к спектральной плотности помехи. Так, например, чтобы обеспечить вероятность ошибок порядка  при некогерентном приеме в двоичной ортогональной системе с активной паузой, в канале без замираний достаточно иметь , а в канале с релеевскими замираниями .

Не следует, однако, думать, что канал без замираний при  и канал с медленными релеевскими замираниями при  будут эквивалентными по верности приема или по пропускной способности. Дело в том, что канал без замираний, когда помеха аппроксимируется белым шумом, является (в дискретном отображении) каналом без памяти, тогда как канал с медленными замираниями является каналом с памятью, причем эта память охватывает тем большее число элементов, чем медленнее замирания.

Таким образом, вероятность ошибки, вычисленная для канала без замираний, не изменяется, если известно, как принимались предыдущие элементы сигнала. В канале же с медленными замираниями вычисленные выше вероятности ошибок являются только безусловными вероятностями, которые могут весьма существенно отличаться от условных вероятностей ошибок, при условии, что задан результат приема одного или нескольких предыдущих элементов.

В качестве примера вычислим условную вероятность ошибки при некогерентном приеме элемента сигнала в двоичной ортогональной системе с активной паузой, учитывая лишь результат приема одного предыдущего элемента сигнала. При этом замирания будем считать релеевскими и настолько медленными, что значения  в соседних элементах сигнала будут практически одинаковыми.

Предположим, что предыдущий элемент сигнала принят правильно. Тогда, очевидно, условная вероятность ошибочного приема следующего элемента

,                      (5.50)

где  - условная вероятность ошибки при некотором значении ;

 - условная плотность вероятности , если предыдущий элемент принят правильно.

Для нахождения  воспользуемся формулой Байеса

,                (5.51)

где

- вероятность правильного приема при данном значении ;

- безусловная вероятность правильного приема.

Подставив  из (5.3), получим

.                (5.52)

Отсюда, учитывая, что

,

получим

             (5.53)

При  эта условная вероятность ошибок составляет 3/4 от безусловной вероятности ошибок.

Аналогично можно вычислить условную вероятность ошибочного приема элемента, если предыдущий элемент принят ошибочно,

.                   (5.54)

С увеличением  от нуля до бесконечности условная вероятность  уменьшается от 0,5 только до 0,25. Поэтому даже при очень большом превышении сигнала над помехой вероятность ошибки велика, если предыдущий элемент принят ошибочно. Следовательно, в таком канале ошибки с большой вероятностью группируются. С увеличением мощности сигнала эти всплески или пачки ошибок наблюдаются все реже, но средняя длительность пачки меняется очень мало и зависит главным образом от среднего периода замираний.

Как уже отмечалось в гл. 2, это обстоятельство необходимо учитывать при выборе корректирующего кода. Такой код в канале с медленными замираниями должен позволять обнаруживать или исправлять пачки ошибок, тем более длинные, чем медленнее замирания в канале. Одним из наиболее простых методов (хотя и далеко не оптимальным) является построение кода с декорреляцией ошибок, т. е. такое размещение символов, входящих в общие проверки на четность, чтобы они были разделены по времени на интервалы, превышающие время корреляции замираний.

Рассмотрим в качестве примера условия применения одного из наиболее простых двоичных корректирующих кодов - трехэлементного кода (3,1), позволяющего исправить одну ошибку. Такой код сводится к тому, что каждый элемент сигнала повторяется трижды и регистрируется тот символ, который принят хотя бы два раза из трех. Неисправленные ошибки при этом будут иметь место в том случае, если по крайней мере два элемента будут приняты ошибочно.

Предположим, что такой код используется без декорреляции ошибок, т. е. все три элемента кодовой комбинации передаются подряд. Замирания будем полагать настолько медленными, что на протяжении трех элементов величина  практически не изменяется. Пусть коэффициент передачи  принял некоторое определенное значение. Тогда условная вероятность ошибочного приема элемента (предполагается некогерентный прием ортогональных в усиленном смысле сигналов) равна

.

Условная вероятность неисправленной ошибки в комбинации из трех элементов

                  (5.55)

Усредняя это выражение по , получаем для релеевских замираний

.                (5.56)

При  эта вероятность приблизительно равна ,т.е. всего лишь на 17% меньше средней вероятности ошибок при примитивном кодировании. Если рассматривать кодовую комбинацию как один элемент втрое большей длительности, то  возрастает в 3 раза и вероятность ошибки будет приблизительно равна , т.е. в 2,5 раза меньше, чем . Отказавшись от помехоустойчивого кодирования и сохранив скорость передачи, можно удлинить элемент сигнала втрое. Таким образом, применение кода (3.1) без декорреляции в канале с медленными замираниями не увеличивает, а уменьшает верность приема.

В случае применения того же кода, но с декорреляцией ошибок, вероятности ошибочного приема элементов, входящих в кодовую комбинацию, независимы и определяются выражением (5.17а). Тогда вероятность неисправленной ошибки

,                   (5.57)

при

,

т. е. существенно меньше чем .

Таким образом, при декорреляции ошибок в канале с медленными релеевскими замираниями код (3.1) дает существенное повышение верности приема.

В более общем случае приходится вычислять вероятность того, что при приеме -элементной кодовой комбинации произойдет  ошибок  [12]. В частности, во многих случаях представляет интерес вероятность безошибочного приема -элементной кодовой комбинации .

Предположим, что замирания релеевские и настолько медленные, что на протяжении  элементов кодовой комбинации коэффициент передачи  практически не изменяется. Вероятность правильного приема  -элементной кодовой комбинации при данном значении  для двоичной системы с активной паузой, ортогональной в усиленном смысле, равна

,                       (5.58)

где  - вероятность ошибки при фиксированном значении

.

Усредняя (5.58) по , найдем вероятность  правильного приема всей -элементной комбинации при медленных релеевских замираниях:

                (5.59)

Формулу (5.59) можно представить в более удобном для вычислений виде с помощью неполной бета-функции:

.              (5.59а)

Может оказаться полезной также рекуррентная формула, легко получаемая из (5.59):

                       (5.59б)

С увеличением длины кодовой комбинации  вероятность безошибочного приема , конечно, уменьшается. Однако она уменьшается значительно медленнее, чем в канале с независимыми ошибками.

Пользуясь формулами (5.59), можно вычислить, например, что при , когда безусловная вероятность ошибки равна , вероятность безошибочного приема кодовой комбинации длиной в 10 символов равна . Заметим для сравнения, что в канале без замираний, т. е. с независимыми ошибками при , вероятность правильно принять 10-элементную кодовую комбинацию равна . Правда, для этого достаточно иметь . Тем не менее отсюда видно, что если сравнивать каналы по вероятности правильного приема сравнительно длинных кодовых комбинаций, то наличие медленных замираний не в такой степени ухудшает качестве канала, как при сравнении по вероятности правильного приема отдельного символа.

Для подтверждения этого приведем еще одни пример. Как уже отмечалось, вероятность ошибочного приема символа  при ортогональной системе с активной паузой и некогерентном приеме обеспечивается в канале без замираний, если . В этих же условиях вероятность ошибочного приема кодовой комбинации из 100 символов приблизительно равна . Для того чтобы обеспечить такую же вероятность ошибочного приема одного символа при релеевских замираниях, нужно иметь , т. е. среднюю мощность передаваемого сигнала нужно увеличить примерно в 550 раз. Если же требуется обеспечить только вероятность ошибочного приема 100-разрядной кодовой комбинации, равной , то оказывается достаточным , т. е. мощность передаваемого сигнала для компенсации влияния замираний придется повысить всего лишь в 50 раз. Разумеется, при этом предполагается, что на протяжении 100 символов коэффициент передачи практически не изменяется.