7.3. Быстрые общие замирания

Другой относительно простой частный случай канала рис. 7.1 имеет место, когда переходная функция  может быть представлена в виде произведения двух сомножителей, из которых один зависит только от , а другой — только от :

                          (7.26)

Первый сомножитель, обозначенный  представляет собой переменный коэффициент передачи, тогда как второй сомножитель  — постоянная переходная функция канала. Мгновенная передаточная функция (7.3) при этом также может быть выражена двумя сомножителями:

                   (7.27)

где

Если  можно считать постоянным в полосе частот, в которой сосредоточена основная часть энергии сигнала, а длительность элемента сигнала  существенно меньше интервала корреляции процесса , то имеют место общие медленные замирания, рассмотренные в  5-й и 6-й главах. В этом параграфе мы будем изучать случай, когда  существенно изменяется на протяжении длительности элемента сигнала , т. е. случай быстрых замираний.

В практически используемых каналах связи с этим случаем приходится встречаться редко. Однако неоднократно указывалось, что с развитием дальней космической радиосвязи придется неизбежно считаться с быстрыми замираниями. Поскольку энергетические ресурсы для передачи сигнала ограничены, а затухание на космических расстояниях велико, то для обеспечения высокого отношения энергии элемента сигнала к спектральной плотности шума придется увеличивать длительность , которая в результате может превысить время корреляции замираний [8]. Это же может иметь место и при «земной» коротковолновой связи, когда но каким-либо соображениям необходимо передавать сообщения, хотя бы с очень небольшой скоростью, с помощью весьма маломощного передатчика. Если в этих случаях используются узкополосные сигналы, то с селективным характером замирания, а также с частотными искажениями в канале можно не считаться.

В рассматриваемом случае в модели канала рис. 7.3 все функции  и  будут соответственно одинаковыми (с точностью до постоянных коэффициентов, определяемых передаточной функцией ). Полагая сигнал настолько узкополосным, что в пределах его спектра , можно эту модель свести к более простой, показанной на рис. 7.6.

Легко видеть, что такую же схему можно получить исходя из рис. 7.4, если  и  во всех ветвях, кроме одной пары, равны нулю. Поэтому понятия «общие замирания» и «замирания в однолучевом канале» полностью совпадают.

Если спектральная плотность аддитивной помехи существенно меньше энергии сигнала за время интервала корреляции замираний, то функцию можно оценить с большой точностью по принимаемому сигналу, используя схему, предложенную В. И. Сифоровым при вычислении пропускной способности канала с общими замираниями [9]. С этой целью в состав сигнала включается гармоническая составляющая, не зависящая от передаваемой информации (пилот-сигнал) . В принятом сигнале будет присутствовать составляющая , спектр которой сосредоточен в полосе , определяемой скоростью флюктуаций коэффициента передачи . Если спектр составляющих сигнала, несущих информацию, лежит в основном вне этой полосы, то можно выделить пилот-сигнал с помощью фильтра и, поскольку передаваемый пилот-сигнал известен, получить оценку .

Рис. 7.6. Модель канала с общими замираниями.

Разделив принятый сигнал на , можно с достаточной точностью «устранить» замирания и применить решающую схему для полностью известного сигнала.

По существу такая схема представляет собой идеализацию применяемого на практике метода мгновенной автоматической регулировки усиления (МАРУ) по пилот-сигналу. Погрешности, возникающие вследствие наличия аддитивной помехи в тракте пилот-сигнал, а также вследствие того, что спектр флюктуации  только приближенно сосредоточен в полосе частот , подробно учтены в [9].

При значительной спектральной плотности помехи можно воспользоваться идеей, изложенной в работе Дж. Костаса [8]. Эта идея, если пользоваться принятой здесь терминологией, заключается в следующем. Элемент сигнала длительностью  разбивается на  «подэлементов» длительностью  и осуществляется разнесенный по времени прием по  ветвям. Длительность подэлемента  выбирается так, чтобы она была меньше интервала корреляции замираний, так что прием каждого подэлемента осуществляется обычным образом в условиях медленных замираний. Вследствие малого отношения энергии подэлемента сигнала к спектральной плотности помехи вероятность ошибки при приеме подэлемента будет велика, но ее можно уменьшить до любой заданной величины путем некогерентного накопления, т. е. разнесенного по времени приема, выбрав при фиксированном значении  достаточно большое . Конечно, с увеличением  уменьшается скорость передачи информации.

Определим вероятность ошибки в такой системе. Примем, как это сделано в работе [8], что система является двоичной, при передаче подэлементов используется относительная фазовая манипуляция, а замирания релеевские. Кроме того, предположим, что замирания в складываемых подэлементах можно считать независимыми.

Согласно формуле (6.38), с учетом примечания 3 к гл. 6, вероятность ошибки равна

где  — вероятность ошибочного приема одного подэлемента.

Учитывая, что длительность подэлемента может быть величиной одного порядка с интервалом корреляции замираний, вероятность  следует определять по формуле (5.76а), подставив в нее вместо  величину  В результате после простых преобразований получим

    (7.28)

где

 — коэффициент корреляции процесса .

Зависимость  от  затрудняет анализ формулы (7.28). Если полагать, что длительность подэлемента значительно меньше интервала корреляции  замираний, то . В этом случае, как было указано в § 6.3, для заданного  существует оптимальное значение , при котором обеспечивается наименьшая вероятность ошибки. Поскольку с увеличением  возрастает , можно полагать, что оптимальное значение  окажется несколько больше, чем вычисленное в предположении .

В работе [8] поставлена задача определения длительности подэлемента , обеспечивающей максимальную скорость передачи (т. е. минимальное ) при заданной вероятности ошибки. Показано, что при гауссовой корреляционной функции оптимальное значение  равно  . При этом . Впрочем, этот результат получен недостаточно строго. В частности, не учитывалось уменьшение вероятности ошибки с увеличением  при постоянной величине .

Заметим, что в реальных каналах расширение полосы частот, связанное с уменьшением , приводит к тому, что начинает проявляться селективный характер замираний. Другими словами, при малых , нельзя пренебрегать величиной  памяти канала.

При известной функции корреляции квадратурных составляющих  и  можно вывести оптимальное правило решения для общих замираний с произвольной          скоростью [10]. Пусть принимаемый сигнал имеет вид

,     (7.29)

Ограничимся случаем релеевских замираний, т. е. будем предполагать, что  и  —независимые случайные процессы с нулевым средним и одинаковым коэффициентом корреляции

                (7.30)

Функция правдоподобия для сигнала , при известных  и , равна

               (7.31)

где — константа, не зависящая от

Представим реализации случайных процессов  и  на интервале  каноническим разложением [7]

,           (7.32)

где  и  — независимые случайные величины, а  — собственные функции, являющиеся решениями интегрального уравнения Фредгольма

               (7.33)

и пронумерованные в порядке невозрастания собственных чисел . Тогда

Заметим, что функции  имеют размерность , собственные числа  — , а  — .

Полагая, что спектры сигналов не перекрываются со спектром флюктуаций  а следовательно, и со спектром координатных функций (что в радиоканалах практически всегда выполняется), можно принять

     (7.33а)

и аналогичные упрощения сделать в остальных интегралах.

Учитывая ортонормированность функций , найдем

      (7.34)

где  — мощность приходящего сигнала .

В дальнейшем будем полагать, что используется система с активной паузой, т. е.. Применим обобщенный критерий максимального правдоподобия. Для этого найдем значения  и , максимизирующие функцию правдоподобия (7.34). Эти значения  и  являются решениями уравнений:

                   (7.35)

Подставляя в (7.35) условную вероятность (7.34), найдем

          (7.36)

где

                               (7.37)

Правило решения, основанное на обобщенном критерии максимального правдоподобия, заключается в регистрации символа ,  если

 при

или

                       (7.38)

для всех  .

На основании полученного правила можно построить решающую схему, изображенную на рис. 7.7. Она состоит из  ветвей, соответствующих сигналам . В каждой ветви результат умножения приходящего сигнала на  поступает на бесконечное число перемножителей, где умножается на функции

Рис. 7.7. Решающая схема для канала с быстрыми общими замираниями.

Полученные произведения интегрируются, в результате чего образуются  и . Последующие операции ясны из (7.38).

Такая схема, конечно, нереализуема вследствие бесконечного числа слагаемых в (7.38). Можно однако показать, что величины  и  с увеличением  быстро сходятся к нулю в среднем квадратичном, и поэтому схема с использованием конечного числа собственных функций оказывается близкой к оптимальной.

Забегая несколько вперед, укажем, что если использовать только  функции  с наибольшими собственными числами, где  — величина порядка  (зависящая от ), то при дальнейшем увеличении  вероятность ошибки уменьшается незначительно.

Рис. 7.8. Некоторые варианты ветви решающей схемы для канала с быстрыми общими замираниями.

Схему рис. 7.7 можно преобразовать, заменив перемножение сигнала на регулярные функции пропусканием его через соответствующий фильтр. На рис. 7.8 показаны некоторые варианты схем одной из  ветвей, в которой образуется величина . С помощью фильтров, согласованных с  (рис. 7.8,а), или с  (рис. 7.8,б). Если, как мы предполагали, спектры функций  занимают полосу частот ниже спектров , то можно показать, что сигналом, сопряженным с произведением  является . Это позволяет представить решающую схему в виде рис. 7.8,в, не содержащем перемножителей, в котором фильтры согласованы с . Возможны и многие другие варианты, в частности схема с синхронным гетеродинированием и фильтрацией по промежуточной частоте.

Все эти схемы в общем случае очень сложны. Однако в двух частных случаях, когда  и  когда , они существенно упрощаются.

В первом случае, когда замирания сравнительно медленные, упрощение очевидно, поскольку можно ограничиться учетом одной собственной функции . Легко видеть, что при этом решающая схема рис. 7.8,в получается такая же, как и при медленных замираниях (или при отсутствии замираний), с той только разницей, что фильтры согласуются не с , а с произведением .

При , как и следовало ожидать, .

Во втором случае, при ортогональных сигналах с неперекрывающимися спектрами, путем преобразований правила решения при некоторых допущениях можно представить решающую схему в виде, показанном на рис. 7.9 (см. примечание 6).

Рис. 7.9. Упрощенная решающая схема для сигналов с неперекрывающимися спектрами при

Здесь полосовые фильтры  имеют полосу пропускания порядка ширины спектра флуктуации коэффициента передачи. Они осуществляют когерентное накопление принимаемого сигнала за время порядка , после чего производится некогерентное квадратичное накопление (сложение) на интеграторе. Легко видеть, что эта схема совпадает со схемой интегрирования после детектора, рассмотренной в гл. 4. В то же время в ней воплощается изложенная выше идея Дж. Костаса [8].

Для того чтобы оценить влияние скорости замираний на вероятность ошибки, рассмотрим простейший случаи двоичной системы с активной паузой. При этом будем полагать, что сигналы ортогональны в усиленном смысле, причем ортогональность сохраняется и после прохождения через канал с быстрыми замираниями. Такое предположение обосновано, например, для системы ЧТ с большим разносом частот, а также для сигналов, рассмотренных в работе Дж. Костаса [8], если длительность подэлемента существенно меньше .

Правило решения (7.38) для двоичной системы имеет вид

         (7.39)

При передаче сигнала

    (7.40)

Найдем элементы корреляционной матрицы случайных величин, входящих в квадратичную формулу (7.39), учитывая (7.33а):

     (7.41)

 по всем  и ,

где . Нормируя к , находим

а матрица квадратичной формы

Здесь  — единичная матрица порядка .

Найдем корни уравнения

,                                      (7.42)

           (7.43)

Методом, изложенным в примечании 4 к гл. 5, можно найти характеристическую функцию, а затем и плотность распределения величины  (7.39). Вероятность ошибки, т. е. вероятность того, что , оказывается равной

         (7.44)

С увеличением  эта вероятность ошибки уменьшается и стремится к величине, определяющей потенциальную помехоустойчивость. Для небольших , если выполняется условие  при всех , можно получить из (7.44) удобную приближенную формулу

                   (7.44а)

В частном случас, когда функция корреляции замираний экспоненциальна:

собственные функции  равны (см. [7], стр. 270)

    (7.45)

где — пожительные корни уравнения

                   (7.46)

                       (7.47)

На рис. 7.10 представлена вычисленная для этого случая зависимость вероятности ошибок от  при  и различных отношениях .

Рис. 7.10. Зависимость вероятности ошибки от числа используемых субкапалов в квазиоптимальном приемнике.

Эти результаты подтверждают, что практически можно ограничиться числом учитываемых собственных функций  порядка .

На рис. 7.11 показана зависимость вероятности ошибок от , вычисленная при достаточно большом . Как видно из этих кривых, потенциальная помехоустойчивость с увеличением скорости замираний возрастает и приближается к потенциальной помехоустойчивости в канале без замираний (пунктирная кривая на рис. 7.11).

Рис. 7.11. Вероятность ошибок при оптимальном приеме двоичных ортогональных сигналов с активной паузой в канале с быстрыми замираниями

В этом нет ничего удивительного, так как чем выше скорость замираний, тем меньше вероятность того, что в течение длительности элемента сигнала  будут сохраняться неблагоприятные соотношения между мгновенными мощностями сигнала и помехи. Следует, однако, иметь в виду, что при выбранной системе сигналов с увеличением скорости замираний рано или поздно нарушится условие ортогональности для сигналов, прошедших черсз канал, и формулы, по которым вычислены приведенные кривые, также не будут справедливы.

В заключение заметим, что при достаточно быстрых замираниях ошибки становятся практически независимыми, поскольку замирания в соседних элементах можно считать некоррелированными.