5.4. Влияние скорости замираний на вероятность ошибок

В этом параграфе мы по-прежнему полагаем замирания медленными в том смысле, что в формуле (5.6а) или (5.6б)  существенно превышает длительность элемента сигнала . Однако мы не будем считать это превышение столь значительным, чтобы  и  практически не изменялись на протяжении . При этом правила решения, выведенные для отсутствия замирания или для замираний с нулевой скоростью, уже не будут, вообще говоря, оптимальными. Тем не менее, учитывая медленность замираний, можно полагать, что эти правила решения останутся достаточно близкими к оптимальным. Поэтому предположим, что производится некогерентный прием по правилу, определенному для замираний с нулевой скоростью (которое в случае системы с активной паузой совпадает с оптимальным правилом для канала без замираний), и попытаемся хотя бы приближенно оценить, насколько изменится вероятность ошибок, если учесть, что величина  за время  в небольших пределах изменяется.

Итак, пусть принимаемый элемент сигнала

,      ;        ,                 (5.60)

где  - передававшийся элемент сигнала;  и  - медленно изменяющиеся функции, являющиеся реализациями двух сопряженных гауссовских процессов.

Обозначим средние за время  значения  и  через  и :

                      (5.61)

Очевидно, что  и  являются нормальными случайными величинами, поскольку они получены в результате линейной операции интегрирования гауссовских процессов. Определим их математические ожидания и дисперсии:

              (5.62)

               (5.63)

Здесь замена переменных и учет четности коэффициента корреляции произведены так же, как при выводе уравнения (4.90).

Аналогично

,                  (5.63а)

, (5.63б)

поскольку, как было указано в § 5.1,  нечетная функция.

Введем также обозначения

                    (5.64)

Теперь принимаемый сигнал (5.60) при передаче  можно записать следующим образом:

,             (5.65)

и рассматривать его как сумму полезного сигнала, заключенного в фигурные скобки, где составляющие коэффициента передачи остаются постоянными на интервале , помехи  и дополнительного члена, заключенного в квадратные скобки.

Этот дополнительный член

является случайным процессом. Он поступает на решающую схему и, вообще говоря, влияет на вероятность ошибок. Но это влияние может быть различным в зависимости от вида сигнала. Для того чтобы пояснить это, рассмотрим два крайних случая.

а) Дополнительный член добавляется к полезному сигналу. Это имеет место в том случае, когда коэффициент взаимной корреляции между полезным сигналом и дополнительным членом равен единице, например, в такой системе, где сигналы  представляют собой очень короткие импульсы, возникающие в различные моменты времени  (считая от момента начала отсчета элемента сигнала). Легко убедиться, что при этих условиях дополнительный член действует на решающую схему так же, как и полезный сигнал. Очевидно, что в этом случае вероятность ошибок выражается такими же формулами, как и при нулевой скорости замираний.

б) Дополнительный член добавляется к помехе. Это происходит в тех случаях, когда дополнительный член статистически независим от полезного сигнала и может рассматриваться как случайный шум. Типичным примером может служить система, в которой сигналы  представляют собой различные реализации нормального шума с равномерным спектром в некоторой достаточно широкой полосе частот . Тогда  будет также нормальным шумом практически в той же полосе частот. В первом приближении к этому случаю можно отнести системы ФТ и ОФТ, а также системы ЧТ при малом разносе частот соседних сигналов (порядка ).

Между этими двумя крайними случаями возможны и различные промежуточные. Так, дополнительный член может оказаться ортогональным ко всем реализациям сигнала. Тогда его мощность вычитается из мощности сигнала, но не добавляется к помехе. Возможны также случаи, когда лишь часть дополнительного члена следует отнести к помехе. Однако, поскольку нас интересует лишь приближенная оценка влияния скорости замираний, можно ограничиться рассмотрением случая б). Составляющие коэффициента передачи для «полезного сигнала»  и  на протяжении одного элемента не изменяются, а могут меняться только скачком в момент смены элемента. Как указывалось в предыдущем параграфе, при этом остаются справедливыми все зависимости, полученные для замираний с нулевой скоростью. Необходимо только учесть, что энергия «полезного сигнала» в (5.65) уменьшилась на величину энергии процесса , которая добавилась к помехе.

На основании (5.63) легко видеть, что средняя мощность  полезного сигнала в (5.65) равна

,                     (5.66)

где  - исходная мощность сигнала;  - отношение мощностей регулярной и флюктуирующей составляющих;  - безразмерная величина, зависящая только от коэффициента корреляции замираний  и длительности элемента сигнала  и равная

.                   (5.67)

При замираниях с нулевой скоростью, когда на всем интервале интегрирования можно полагать , из (5.67) следует, что .

Поскольку уменьшение мощности полезного сигнала вследствие конечной скорости замираний касается только его флюктуирующей части, то коэффициент  несколько увеличивается и становится равным

.                   (5.68)

Одновременно мощность помехи увеличивается на величину , а ее спектральную плотность можно считать в первом приближении равной

,                  (5.69)

где  - условная полоса частот системы;  - ee база.

Таким образом, все формулы, полученные для замираний с нулевой скоростью, остаются справедливыми для этого случая, если в них заменить  на  и  на , где

.                       (5.70)

В частности, для двоичной ортогональной системы ЧТ с разносом частот, равным , учитывая, что , получим из формулы (5.17)

.                 (5.71)

При  (т. е. при замираниях с нулевой скоростью) эта формула переходит в (5.17). С уменьшением  вероятность ошибки довольно быстро возрастает, особенно при больших  и малых .

Если увеличивать мощность сигнала, т. е. величину , то в пределе при , в отличие от всех рассмотренных ранее случаев, вероятность ошибки стремится не к нулю, а к конечному значению

.              (5.72)

Этот результат не следует считать неожиданным. Замирания с конечной скоростью представляют собой мультипликативную помеху, которая с некоторой вероятностью может сделать сигнал  более похожим на другой сигнал , даже при полном отсутствии аддитивной помехи. Эта вероятность стремится к нулю, когда скорость замираний уменьшается, т. е.  стремится к единице.

При релеевских замираниях  из формулы (5.71) получим

,              (5.71а)

а предел, к которому стремится вероятность ошибки, когда  стремится к бесконечности, равен

.                (5.72а)

В такой же двоичной системе ЧТ, если разнос частот значительно больше , предельная вероятность ошибок оказывается значительно меньше, чем (5.72). Если положить в (5.70) , то

 и вместо (5.71)

получим

,                      (5.73)

а при релеевских замираниях

.              (5.73a)

Здесь с увеличением  вероятность ошибок стремится к нулю хотя и медленнее, чем при замираниях с нулевой скоростью.

На рис. 5.10 построены кривые, рассчитанные по формулам (5.71) и (5.73) для различных значений  при  и . Они наглядно показывают, что следует проявлять большую осмотрительность при попытках уменьшать разнос частот в системах ЧТ, если скорость замираний в канале заметно отличается от нулевой.

Рис. 5.11. Влияние скорости замираний на вероятность ошибок для двоичных ортогональных сигналов с активной паузой.

Таким же образом можно рассмотреть и другие системы. Мы остановимся несколько подробнее на двоичной системе ОФТ. Используем такой же подход, как и в гл. 4, т. е. будем исходить из того, что эту систему можно считать ортогональной, если рассматривать сигнал на интервале . Поэтому усреднение составляющих коэффициента передачи будем производить на указанном интервале, полагая

                  (5.74)

Рассуждая таким же образом, как и ранее, найдем, что скорость замираний при некогерентном приеме двоичных сигналов ОФТ можно в первом приближении учесть, заменив в формуле (5.13) величину  на

,

а величину  на

,

где

.             (5.75)

В результате такой замены получим

.                     (5.76)

Эта зависимость при различных значениях  и  приведена на рис. 5.11.

Рис. 5.11. Влияние скорости замираний на вероятность ошибок для двоичной системы ОФТ.

При релеевских замираниях

.             (5.76а)

Предельная вероятность ошибки, когда  стремится к бесконечности, равна при квазирелеевских замираниях

,                  (5.77)

а при релеевских замираниях

.              (5.77а)

Поскольку всегда  (если не считать случаи замираний с нулевой скоростью, когда ), то предельная вероятность ошибок в системе ОФТ больше, чем в системе ЧТ (с разносом ) при работе в том же канале и с той же скоростью.

Если система ЧТ (с разносом частот ) позволяет в некотором канале с медленными замираниями получить заданную вероятность ошибки  при каких то значениях  и , то такая же вероятность ошибки будет в системе ОФТ при том же значении  и вдвое меньшем  (т. е. вдвое большей технической скорости передачи). В этом легко убедиться, сравнивая формулу (5.76) с (5.71) и формулу (5.75) с (5.67).

Значения  и  можно вычислить, зная коэффициент корреляции  замираний и длительность элемента сигнала . В частности, если  аппроксимируется колоколообразной кривой (5.6в), то

.

При  (а только для этого случая можно считать допустимым применяемый здесь подход)

.               (5.78)

Аналогично

.                (5.78а)

Если учесть, что при этих условиях значение коэффициента корреляции для

,

то полученный результат можно записать так:

,

.

Для экспоненциального коэффициента корреляции (5.6г)

или при

.                (5.79)

Аналогично

.

В системе ОФТ (а также в других системах, в которых мощность дополнительного члена  добавляется к мощности помехи, например, ЧТ при малом разносе частот) увеличение длительности элемента сигнала  при неизменной мощности не всегда повышает верность приема. С увеличением  уменьшается величина  (или ), что может привести иногда к увеличению вероятности ошибки, несмотря на возрастание . Поэтому в таких системах должно существовать оптимальное значение , обеспечивающее наиболее эффективную передачу информации.

Отыскание оптимальной длительности элемента сигнала с учетом всех разнообразных факторов представляет очень трудную задачу. Ограничимся более частной постановкой вопроса - найдем, при каком значении  мощность сигнала, необходимая для получения заданной вероятности ошибок , минимальна. Для системы ОФТ при релеевских замираниях из (5.76а):

.

Полагая, что  выражается формулой (5.6в), и подставляя значение  из (5.78а), а также выражая  через , получим

.

Отсюда легко найти значение , при котором значение  минимально:

.                  (5.80)

Если  сек (довольно типичное значение для протяженного коротковолнового канала), то при изменении  от  до  величина  меняется от 1,5 до 4 мсек, что хорошо согласуется с экспериментальными данными.

Для системы ЧТ с разносом частот  из (5.71а) и (5.78) таким же образом найдем

.                     (5.80а)

При  сек и  оптимальное значение  лежит в пределах от 16 до 44 мсек.

Следует подчеркнуть, что выражения (5.80) определяют только относительный оптимум, обеспечивающий минимум мощности сигнала при заданной вероятности ошибок. Если задаваться не вероятностью ошибок, а скоростью передачи информации (зависящей как от , так и непосредственно от ), то результат будет иным.