5.5. Пропускная способность канала с медленными общими замираниями

Канал с замираниями представляет собой типичный пример канала с переменными параметрами. Вычисление его пропускной способности в общем виде является сложной задачей. В настоящее время найдены лишь некоторые приближенные выражения и оценки [15-22], которые, впрочем, достаточны для практически важных случаев.

Состояния канала определяются значениями  и  (или  и ). По аналогии с (2.74) и (2.75) можно показать [23], что

             (5.81)

                     (5.82)

Для определения пропускной способности канала нужно найти такое распределение вероятностей сигнала  (при определенных ограничениях, например при заданной мощности), которое обеспечивает максимум выражения (5.81). Это и представляет наиболее трудную часть задачи.

Остановимся на простейшем случае, когда скорость замирания очень мала по сравнению со скоростью передачи сообщения, т. е. когда, анализируя ранее принятые элементы сигнала, можно с большой точностью предсказать значения  и . В этих условиях, очевидно,  и крайние члены неравенства (5.82) мало отличаются друг от друга. Поэтому скорость передачи информации можно в первом приближении получить, усредняя по  и  значение , которое представляет собой не что иное, как скорость передачи информации в канале без замираний при заданных  и . Максимум этой усредненной скорости имеет место в том случае, когда сигнал  выбран таким, чтобы обеспечить максимум величины , а для этого, как было показано в гл. 3, сигнал с заданной средней мощностью  должен быть гауссовым. При этом условная (для данных  и ) максимальная скорость передачи информации или условная пропускная способность в соответствии с (3.84) не зависит от фиксированного значения  и равна

где  - излучаемая мощность сигнала.

Переходя к средней мощности сигнала на входе приемного устройства  и произведя усреднение по , найдем пропускную способность канала с медленными замираниями:

.                   (5.84)

Для случая релеевских замираний [17], подставив  из (5.3) и произведя замену переменных по формуле , можно привести (5.84) табличному интегралу

,              (5.85)

где

При  интегральная показательная функция  хорошо аппроксимируется выражением , где  - постоянная Эйлера. Учитывая, что , получаем

    .                  (5.86)

При , пользуясь асимптотическим выражением интегральной показательной функции , находим

           ,                 (5.87)

что совпадает с приближенным выражением для пропускной способности канала без замираний. На рис. 5.12 изображена зависимость  от  для канала с медленными релеевскимн замираниями. Для сравнения приведена такая же зависимость при отсутствии замираний. Из рис. 5.12 следует, что медленные релеевские замирания понижают пропускную способность канала не более чем на 17%. При небольших отношениях  кривые практически совпадают.

Рис. 5.12. Зависимость пропускной способности от отношения мощностей сигнала и шума: 1 - отсутствие замирания; 2 - релеевские замирания.

В случае медленных квазирелеевских замираний очевидно, что пропускная способность должна принимать некоторое среднее значение между пропускной способностью канала с релеевскими замираниями и канала с отсутствием замираний. При  приближенное выражение пропускной способности получено в работе [18]. В наших обозначениях при равномерном спектре шума оно может быть записано следующим образом:

              (5.88)

Для другого крайнего случая, когда

                    (5.89)

Для каналов с относительно быстрыми замираниями вычисление пропускной способности затрудняется тем, что сигнал, обеспечивающий максимум скорости передачи информации, оказывается в общем случае не гауссовым и его спектральная плотность непостоянна. Для таких каналов найдена оценка пропускной способности снизу на основании того, что она не может быть меньше скорости передачи информации при произвольной структуре сигнала [22]. Поэтому такой оценкой может служить максимальная скорость передачи информации при гауссовом сигнале [19,21]. Полученные выражения довольно сложны и здесь не приводятся. Они свидетельствуют о том, что даже быстрые замирания не очень значительно уменьшают пропускную способность канала. Во всяком случае, при малых отношениях  общие замирания почти не влияют на пропускную способность канала.

Исходя из этого можно сделать вывод, что предельная пропускная способность для каналов с замираниями при неограниченном значении полосы частот , занимаемой сигналом, может быть приближенно выражена той же зависимостью (3.85), что и для канала с постоянными параметрами:

.             (5.90)

Здесь, впрочем, следует сделать оговорку, что при возрастании  во всяком реальном канале замирания проявляются как селективные. Однако формула (5.90) все же имеет реальный смысл, если ее рассматривать как предел суммарной скорости передачи информации в многоканальной системе с разделением «каналов» по частоте. В этом случае сигнал в каждом канале занимает ограниченную полосу частот, в которой замирания часто могут рассматриваться как общие.