3.2. Представление сигнала и помехи с помощью разложения в ряд Фурье

Пусть каждый из  символов кода передается некоторым элементам сигнала    заданным на отрезке времени длительностью . Таким образом, сигнал представляет последовательность элементов равной длительности. Будем рассматривать условия приема (различения) одного элемента сигнала. При этом на вход приемного устройства поступает сигнал вместе с аддитивной помехой

                 (3.1)

где  — коэффициент передачи канала;  — время прохождения сигнала в канале;  — аддитивная помеха;   — момент начала передачи.

В данной главе  и  будем считать постоянными величинами. Кроме того, предполагается, что значение  известно при приеме сигнала так же, как и сама форма каждого элемента сигнала  Кроме того, известен момент  начала приёма данного элемента, т. е. система передачи считается синхронной. Приняв этот момент за начало отсчёта времени, можно записать выражение для  принимаемого сигнала в следующем  виде:

                               (3.1а)

Первая решающая схема должна определить индекс передаваемого элемента , т. е. на основании анализа принятого сигнала  должна решить, какой кодовый символ  передавался.

Представим функции ,  и  на интервале  в виде ряда Фурье:

                               (3.2)

где

   .

Очевидно, что

                                    (3.3)

Коэффициенты ряда Фурье ,  содержат всю информацию о переданном сигнале, имеющуюся в принятом сигнале  поскольку по этим коэффициентам можно однозначно восстановить .

В подавляющем большинстве случаев сигналы  выбираются таким образом, что только конечное число коэффициентов  и  отлично от нуля. Если это условие не выполняется, то обычно можно подобрать такое значение , что при представлении сигнала рядом Фурье на интервале  (как сказано в подстрочном примечании) можно получить конечное и чаще всего небольшое число коэффициентов  отличных  и  от нуля.

Пусть и  подставляют соответственно наименьший и наибольший индексы тех коэффициентов ряда Фурье  и , которые отличны от нуля. Тогда  и  являются наименьшей и наибольшей частотами в выражении сигнала  рядом  Фурье. Условимся называть величину  полосой частот,    занимаемой сигналом . Если под  и  понимать соответственно наименьшее и наибольшее значения  по всему множеству сигналов, используемых в данной системе связи, то величина

                                    (3.4)

представляет собой полосу частот, занимаемую системой.

Очевидно, что . Те системы, для которых  при всех , т. е. все реализации сигнала занимают одну и ту же полосу частот, будем называть плотными.

Следует отметить, что величина  не является шириной спектра сигнала в обычном смысле. Как правило, сигнал имеет не дискретный, а непрерывный энергетический спектр, к тому же не ограниченный. Представление о сигнале с ограниченным спектром, часто используемое в работах по общей теории связи, таит в себе внутреннее противоречие и иногда приводит к принципиальным ошибкам [3]. Введенное здесь условное представление о полосе частот , занимаемой сигналом или системой, не налагает никаких требований на общую длительность и на спектр сигнала. В сущности мы представили сигнал, состоящий из последовательностей элементов, в виде суммы отрезков гармонических колебаний вида  и  причём амплитуды их  и  остаются постоянными лишь на протяжении длительности  одного элемента, а при смене элемента, вообще говоря, изменяются скачком. Каждый такой отрезок гармонического колебания имеет непрерывный и неограниченный спектр.

Тем не менее, как будет видно из дальнейшего, условное понятие о полосе частот  (3.4) является весьма плодотворным и имеет вполне реальный физический смысл. Общее количество коэффициентов ряда Фурье сигнала, которые могут отличаться от нуля при заданной полосе частот , равно

                               (3.5)

Величину  будем называть базой системы. Рассмотрим несколько элементарных примеров.

Заметим, что значения коэффициентов ряда Фурье ,  могут быть определены экспериментально с помощью принципиально очень простой схемы  (рис. 3.1). Сигнал  в начальный момент передачи элемента  подастся на перемножающее устройство, на которое поступает также вспомогательное напряжение с единичной амплитудой . Полученное произведение  поступает на интегрирующее устройство и в  момент  производится измерение результата интегрирования

                                            (3.13)

Рис. 3.1. Схема определения значений коэффициентов ряда Фурье.

Подставляя в (3.13) выражение  в виде ряда Фурье (3.2) и учитывая известное свойство ортогональности тригонометрических функций  [5], легко  получить

                           (3.14)

и, зная , можно найти . Аналогично, подав на перемножитель вспомогательное напряжение  можно найти коэффициент .

Коэффициенты ,  являются на протяжении рассматриваемого элемента сигнала случайными величинами. Если мгновенные значения помехи имеют нормальное распределение вероятностей, то, как известно, распределение вероятностей коэффициентов   и  также нормальное с математическим ожиданием  и дисперсией

Если к тому же помеха представляет собой белый шум (т. е. имеет равномерную энергетическую спектральную плотность), то случайные величины ,  попарно некоррелированы [4]. Практически можно считать помеху белым шумом, если ее энергетический спектр равномерен в полосе частот, существенно более широкой, чем полоса частот , занимаемая сигналом. Для белого шума при всех значениях  величина  Согласно теореме Парсеваля [5] для любой функции  заданной на интервале , справедливо равенство

                            (3.15)

выражающее мощность, выделяемую напряжением  на единичном сопротивлении,     через коэффициенты ряда Фурье. Поэтому величину  можно рассматривать как часть этой мощности, приходящуюся на полосу частот шириной  вокруг частоты  Для помехи математическое ожидание этой части мощности равно  а отношение  к полосе частот  представляет спектральную плотность помехи на частоте :

                                                          (3.16)

По определению спектральная плотность белого шума не зависит от частоты и равна