6.5. Дискретное сложение

В некоторых случаях удобно применять простой, хотя и далекий от оптимального, метод разнесенного приема, основанный на том, что в каждой ветви используется самостоятельная решающая схема, доводящая решение до определения вероятного переданного символа по сигналу, принятому в данной ветви. Окончательное решение принимается на основании сравнения «частных» решений, полученных в каждой из ветвей. При этом не учитываются ни различия правдоподобия частных решений, ни различия в мощности принимаемых сигналов в отдельных ветвях, как это имело место в схеме выбора. Поскольку все ветви считаются равноправными, наиболее правдоподобным является тот символ, который зафиксирован в наибольшем числе ветвей. Такой метод разнесенного приема оказывается особенно удобным при разнесении по времени, поскольку он требует запоминания только дискретных величин.

Вообще говоря, такое правило решения может привести к неопределенности, если два или более различных символов зарегистрированы в одинаковом числе ветвей. Однако в частном случае, когда система двоичная, а число ветвей нечетное, такая неопределенность возникнуть не может. Сравним помехоустойчивость такого метода дискретного сложения, ограничиваясь этим частным случаем.

Если число ветвей приема , то вероятность ошибки  равна вероятности того, что в  или большем числе ветвей зарегистрирован ошибочный символ. Если обозначить вероятность ошибки в одной ветви через , то

.           (6.56)

Этой формуле можно дать следующую интерпретацию. Предположим, что производится серия каких-то испытаний с вероятностью положительного исхода  в каждом испытании. Серия состоит из  испытаний. Условимся, что событие  наступило в том случае, если в этой серии имелось  или больше положительных исходов. Тогда, очевидно, вероятность наступления события  выразится биномиальным законом

,

что совпадает с (6.56).

Но можно, рассуждая несколько иначе, получить другое выражение для . В действительности, для того чтобы определить, что событие  наступило, вовсе не обязательно доводить серию испытаний до конца. Достаточно продолжать испытания до тех пор, пока мы не получим  положительных исходов, после чего можно утверждать, что событие  наступило, так как последующие испытания не смогут изменить этого факта. Только в том случае, если было проделано  испытаний, а положительный исход не наступил  раз, следует сделать вывод, что событие  не наступило.

Определим с этой точки зрения вероятность того, что наступление события  констатировано после -го испытания. Это означает, что в предыдущих  испытаниях имелось  положительных исходов и -е испытание дало также положительный исход. Вероятность этого равна

.

Событие  может быть констатировано не раньше -го испытания. Таким образом, вероятность наступления события может быть представлена как сумма вероятностей констатации события  после -го испытания, взятая по всем , от  до ,    т. е.

.        (6.57)

Если теперь обозначить через  число испытаний, проведенных после -го испытания, т. е. , то

.         (6.58)

Отсюда вытекает тождество

.    (6.59)

Предположим теперь, что в каждой ветви схемы дискретного сложения осуществляется оптимальный некогерентный прием. Тогда согласно (5.17а)

,

и правая часть (6.59) совпадает с выражением (6.38) для вероятности ошибки при оптимальном квадратичном сложении, если , так как .

Полученный результат означает, что вероятность ошибки в схеме дискретного сложения при  равна вероятности ошибки в схеме квадратичного сложения при . Таким образом, потери, вызванные переходом от оптимальной некогерентной схемы разнесенного приема к схеме дискретного сложения, могут быть в точности скомпенсированы увеличением числа ветвей с  до . При этом, конечно, предполагается, что при увеличении числа ветвей мощность сигнала, приходящаяся на каждую ветвь, сохраняется.

Так, например, сдвоенный прием на разнесенные антенны при оптимальном квадратичном сложении эквивалентен по помехоустойчивости приему на три раздельных приемника с выбором символа, зарегистрированного по крайней мере двумя приемниками. Для того чтобы заменить таким же образом строенный прием, потребуется пять раздельных приемников с разнесенными антеннами.

Полученные результаты позволяют легко сравнивать метод дискретного сложения с другими более эффективными методами разнесенного приема и оценивать, в каких случаях требуемое увеличение числа раздельных приемников окупается простотой схемы дискретного сложения.