Системы ОФТ при m>2

Наряду с двоичными системами ОФТ довольно широко используются системы ОФТ с основанием кода  (чаще всего  или ). Обычно такие системы обеспечивают уплотнение канала, т. е. одновременную передачу сообщений от нескольких источников, и рассматриваются как объединение нескольких (чаще всего двух или трех) двоичных каналов. С этих позиций мы будем о них говорить в гл. 9, определяя вероятности ошибочного приема двоичного символа в каждом из объединенных сообщений. Однако в последние годы все большее значение приобретает использование систем с высоким основанием кода для передачи соответствующим образом кодированных данных от одного источника. При этом интерес представляет вероятность правильного (или ошибочного) приема ичного символа.

В качестве примера рассмотрим случай . Пусть передаются символы 0, 1, 2 и 3, причем информация о них заложена в разности фаз  между соседними синусоидальными элементами сигнала. Например, символу «3» соответствует , символу «1» —, символу «2» —  и символу «3» — . Таким образом, каждый элемент сигнала имеет вид

где — начальная фаза, а коэффициент  принимает значение 0, 1, 2 или 3, в соответствии с передаваемым символом и с фазой предыдущего элемента.

Если начальная фаза флюктуирует настолько медленно, что может считаться известной, то возможен квазикогерентный прием, такой же, как в системе ФТ с .., с последующим перекодированием, правила которого очевидны. Вероятность правильного приема для такой биортогональной системы ФТ была вычислена в главе 3 (3.70а). Отсюда вероятность ошибки равна

                                           (4.108)

Для вычисления вероятности ошибок в системе ОФТ нужно учесть сдваивание их. Это, однако, не так просто, как было сделано при выводе формулы (4.99), поскольку две смежные ошибки в системе ФТ вызовут после перекодирования в ОФТ иногда две, а иногда три ошибки. Поэтому ограничимся получением оценки сверху, учитывая, что ошибка до перекодирования никогда не вызовет больше двух ошибок после перекодирования. Следовательно,

                                       (4.109)

Прикогда появление смежных ошибок до перекодирования весьма маловероятно, эта оценка оказывается хорошим приближением. Пренебрегая в этих условиях квадратом малой величины  получим

                                          (4.109а)

т. е. вероятность ошибки в 4 раза больше, чем в двоичной системе с ортогональными сигналами при когерентном приеме.

В случае некогерентного приема начальная фаза  считается неизвестной. Передаваемый символ определяется отрезком сигнала, объединяющим два элемента, а именно:

символу «0» соответствует сигнал

символу «1» соответствует сигнал

символу «2» соответствует сигнал

символу «3» соответствует сигнал

Оптимальная некогерентная решающая схема для такой системы может быть построена различными способами. В частности, возможны универсальные схемы — квадратурная и с согласованными фильтрами. Они отличаются от рис. 4.21 и 4.23 только удвоением числа ветвей и заменой оконечного вычитающего устройства схемой сравнения четырех величин. Другие варианты схем будут рассмотрены в гл. 9.

Для оценки вероятности ошибки при оптимальном некогерентном приеме воспользуемся тем, что система (4.110) изоморфна системе (4.63а), если в последней сигналы задать не на интервале , а на интервале . Легко убедиться, что для системы (4.110) выполняются условия (4.63) при замене пределов интегрирования и соответственном увеличении вдвое энергии сигнала. Поэтому остаются справедливыми оценки (4.67), если в них заменить  на , что дает

                         (4.111)

Как уже отмечалось, системы с разными основаниями кода целесообразно сравнивать по эквивалентной вероятности ошибки и при одинаковых значениях параметра . В данном случае при  и достаточно больших значениях  эквивалентная вероятность ошибки приблизительно равна

Показать графически зависимость эквивалентной вероятности ошибки от  при  и  для когерентного приема ОФТ, как это было сделано на рис. 4.9 для ортогональных систем, не удалось, поскольку кривые для  практически сливаются с полученными для . Таким образом, при применении ОФТ с заданной скоростью передачи информации увеличение  не повышает верности приема в отличие от ортогональных систем. Однако повышение основания кода в системе ОФТ позволяет увеличивать скорость передачи сообщений без расширения полосы частот, тогда как при сохранении ортогональности увеличение  связано с разрешением полосы частот, даже если скорость передачи остается неизменной.