Примечания

1 (к § 5.1). Описанная физическая картина происхождения селективных замираний является, конечно, приближенной. Ею можно пользоваться только при относительно небольшой ширине энергетического спектра сигнала. В случае сигналов с очень широким спектром проявляются также непосредственно дисперсные свойства ионосферы (или тропосферы), заключающиеся в том, что коэффициенты отражения (или рассеяния) зависят от частоты. От частоты зависит также глубина проникновения волны в ионосферу. Эти явления приводят к тому, что даже в «однолучевых» каналах коэффициент передачи  и сдвиг фазы  оказываются неодинаковыми для различных частотных составляющих сигнала.

Частотная зависимость замираний, возникающая в связи с дисперсными свойствами среды, выражена значительно слабее, чем та, которая определяется интерференционными явлениями в «многолучевых» каналах. Так, например, при ионосферном распространении коротких волн дисперсионные явления вызывают заметные различия в коэффициентах передачи только для частот, отличающихся на десятки килогерц и более, тогда как при интерференционных селективных замираниях коэффициент корреляции между значениями оказывается существенно меньше единицы, а иногда и близким к нулю для частотных составляющих, отличающихся всего лишь на сотни герц.

Разницу между дисперсионными и интерференционными явлениями при ионосферном отражении радиоволн можно наглядно показать, рассматривая передачу весьма короткого (например, длительностью порядка микросекунды) радиоимпульса, огибающая которого показана на рис. 5.13,а. Огибающая приходящего сигнала при многолучевом распространении изображена на рис. 5.13,б. Здесь показан случай, когда приходят четыре «луча» с различной интенсивностью, каждый из которых, в свою очередь, представляет собой сумму нескольких лучей (рис. 5.1). Каждый из пришедших «лучей» подвержен общим замираниям вследствие интерференции его составляющих. Разность хода этих отдельных составляющих, из которых состоит «луч» имеет величину порядка долей микросекунды. Поэтому в масштабе нашего рисунка они не различаются. Между отдельными «лучами», отразившимися различное число раз от разных слоев атмосферы, разность хода составляет от сотен микросекунд до единиц (в редких случаях до десятков) миллисекунд.

Рис. 5.13. Влияние дисперсности ионосферы и многолучевого распространения при прохождении короткого импульса

Вследствие дисперсии в ионосфере импульс отдельного луча растянут и форма огибающей искажена. Интерференционные явления между отдельными лучами здесь непосредственно не заметны, так как приходящие лучи разделены во времени. Многолучевой характер распространения здесь сказывается в том, что вместо одного переданного импульса принимается четыре.

Пусть в том же канале передается более длительный импульс, порядка нескольких миллисекунд (рис. 5.14,а). Теперь приходящие импульсы, соответствующие различным лучам, взаимно перекрываются (рис. 5.14,б), и так как они приходят с различными фазами, то наряду с растягиванием принимаемого импульса имеют место интерференционные явления, вызывающие селективные замирания.

Рис. 5.14. Перекрытие сигналов, приходящих по нескольким путям, при передаче длинного импульса.

2 (к § 5.2). Как отмечалось в гл. 4, в реальных системах связи чаще всего применяются неоптимальные решающие схемы, менее чувствительные к неточности частоты, например схемы узкополосного приема по огибающей, схемы с интегрированием после детектора и т. д. Все сказанное об этих схемах остается справедливым и при медленных общих замираниях с той только разницей, что полученные в гл. 4 выражения вероятности ошибок должны быть усреднены по  в соответствии с характером замираний. Приведем результат такого усреднения для узкополосного приема по огибающей при двоичной системе ЧТ (4.74) и релеевских замираниях

.                (5.91)

В этом случае вероятность ошибок, при достаточно больших значениях практически вдвое больше, чем в случае оптимального некогерентного приема (5.17а).

Таким же образом можно вычислять вероятности ошибок и для других схем. Следует только помнить, что многие формулы, полученные для неоптимальных схем приема в 4-й главе, являются приближенными и справедливы только при  [например, формулы (4.93). (4.95), (4.97)]. При замираниях же величина  может стать сколь угодно малой, какова бы ни была величина . Поэтому формальное усреднение по величине может дать приблизительно верный результат лишь при том условии, что доля ошибок, возникающих при , не велика. Для приема сигналов двоичной системы ЧТ при релеевских замираниях по мгновенной частоте вероятность ошибок вычислена в [24]. Для случая, когда перед частотным детектором включен П-образный фильтр с полосой пропускания , вероятность ошибки равна

,                      (5.92)

где  - отношение средней мощности сигнала к мощности помехи на выходе фильтра;

;

 - девиация круговой частоты.

В той же работе эта задача решена в более общем виде с учетом скорости замираний. При этом использованы результаты работы [25], в которой получено распределение вероятностей мгновенной частоты суммы двух стационарных гауссовых процессов с различными спектрами. Очевидно, что при релеевских замираниях сигнал является узкополосным гауссовым процессом (хотя и не стационарным) и скорость замираний можно характеризовать средней квадратичной шириной полосы . В этом случае вероятность ошибок выражается следующей формулой:

                        (5.93)

которая при замираниях с нулевой скоростью  переходит в (5.92). Здесь  - средняя квадратичная полоса пропускания фильтра (4.77). Из [24] видно, что формула (5.93) справедлива для любого фильтра (а не только П-образного), если под  понимать среднюю квадратичную полосу пропускания фильтра и положить . Учитывая это, а также выражая  через , получим

              (5.93а)

Следует иметь в виду, что эти формулы получены из представления сигнала стационарным процессом. В действительности, при частотной манипуляции, сигнал не является стационарным и приведенные формулы можно считать приближенно верными лишь при условии, что полоса пропускания фильтра достаточно широка, чтобы в момент отсчета мгновенной частоты колебания в нем можно было считать установившимися, т. е. . Здесь остаются справедливыми все оговорки, сделанные по поводу формулы (4.76).

При замираниях с нулевой скоростью , если положить  и , формула (5.93а) дает , т. е. вероятность ошибки получается такой же, как и при оптимальном некогерентном приеме. Однако при столь малом значении  погрешность этого результата, по-видимому, довольно велика. Для тех же значений , при которых этой формулой можно пользоваться, вероятность ошибки оказывается существенно большей, чем при оптимальном некогерентном приеме. С увеличением скорости замираний вероятность ошибки возрастает.

3 (к § 5.2). Большая часть экспериментальных результатов по исследованию изменений напряженности поля в радио и радио-линейных линиях (в том числе и при тропосферном рассеянии) достаточно хорошо согласуется с предположением, что распределение вероятностей коэффициента передачи (по крайней мере на интервалах наблюдения порядка десятков минут) является релеевским или обобщенным релеевским. Тем не менее в ряде работ указывается на существенные отклонения от этих распределений и предлагаются другие выражения для плотности распределения вероятностей коэффициента передачи. В большей части этих работ рассматривается семейство «-распределений», при которых коэффициент передачи  характеризуется плотностью

,               (5.94)

где  - параметр, характеризующий замирания в канале.

Это распределение было предложено в [26] как аппроксимация плотности вероятностей суммы конечного числа интерферирующих сигналов. Несколько ранее и в другой форме оно было получено в [27] при целочисленных значениях  в результате обработки экспериментальных исследований нескольких протяженных коротковолновых радиолиний. При  получается усеченное нормальное распределение, при  - релеевское распределение.

Вероятности ошибок при «-распределении» коэффициента передачи вычислялись в [10, 28, 29] и в ряде других работ. Для системы с активной паузой, ортогональной в усиленном смысле, с основанием кода  в [29] получено следующее выражение вероятности ошибки при оптимальном некогерентном приеме:

               (5.95)

которое при  совпадает с (5.16а).

В работе [30] указывается, что измерения за короткие промежутки времени (порядка десяти минут) показывают, что в большей части радиоканалов замирания подчиняются релеевскому распределению, однако среднее квадратичное значение коэффициента передачи  представляет собой также случайный процесс с очень медленными (часовыми) изменениями, подчиняющийся -распределению. Впрочем, большинство авторов утверждают, что такие часовые изменения лучше описываются нормально-логарифмическим распределением.

Дальнейшее обобщение релеевских замираний при гауссовских коэффициентах  и , с различными средними значениями и дисперсиями подробно рассмотрено в [39].

Среди других возможных физических моделей интерференционных замираний заслуживает упоминания двухлучевая модель, согласно которой принимаемый сигнал является суммой двух регулярных пришедших по разным путям составляющих, с постоянным отношением амплитуд  и со случайной равномерно распределенной разностью фаз . Коэффициент передачи  в таком канале равен

.            (5.96)

В случае некогерентного приема двоичных ортогональных сигналов с активной паузой вероятность ошибки, при некотором значении , равна

а средняя вероятность ошибок в соответствии с (5.8) может быть найдена путем усреднения полученного выражения по :

            (5.96а)

При , пользуясь асимптотическим представлением модифицированной функции Бесселя, получим

.             (5.96б)

Отсюда видно, что при  и достаточно больших  вероятность ошибки уменьшается экспоненциально с увеличением мощности сигнала, как при квазирелеевских замираниях. Однако если , то

,

и вероятность ошибок уменьшается только обратно пропорционально квадратному корню из мощности сигнала, т. е. значительно медленнее, чем даже при релеевских замираниях.

4 (к § 5.2). Матричный метод отыскания характеристической функции квадратичной формы гауссовских величин, впервые использованный в [8], является мощным средством вычисления вероятностей ошибок при релеевских замираниях, когда оптимальное некогерентное правило решения (5.23), а также многие субоптимальные правила решения, сводятся к сравнению значения такой квадратичной формы с некоторым (часто нулевым) порогом. Приведем здесь обоснование выражения (5.34), а также некоторые вытекающие из него выводы.

Характеристическая функция квадратичной формы (5.32) по определению равна -кратному интегралу

                   (5.97)

где  - -мерная плотность распределения:

                    (5.98)

Здесь  - определитель корреляционной матрицы (5.33);  - элементы матрицы , обратной матрице .

В матричной записи

,                     (5.99)

,            (5.100)

где ,  - вектор-строка и вектор-столбец величин . Далее везде знак  обозначает транспонированную матрицу.

Обозначим

.                   (5.101)

Тогда

.                 (5.102)

Матрица  симметрична, поскольку симметричны матрицы  и . В этом случае существует линейное преобразование переменных , которое переводит квадратичную форму  в канонический вид, т. е. в сумму квадратов [31]. Таким преобразованием является линейное ортогональное преобразование

,                     (5.103)

когда

,                  (5.104)

где  - матрица преобразования порядка , удовлетворяющая условию

,                  (5.105)

( - единичная матрица порядка ) или

.                  (5.106)

Подставляя (5.103) в (5.102) и учитывая, что якобиан преобразования равен единице, получаем

.                    (5.107)

Здесь

Из теории матриц известно [31], что

,               (5.108)

последний переход сделан на основании (5.106). Таким образом,

.                  (5.109)

Но преобразование (5.103) выбрано так, что матрица

                    (5.110)

диагональна, в (5.110)   - собственные значения матрицы ;  - символ Кронекера.

Умножая слева обе части первого равенства (5.110) на  с учетом (5.105), (5.106), найдем

.               (5.111)

Последнее равенство позволяет найти элементы преобразующей матрицы . Действительно, если представить матрицу в виде вектора-строки

,                     (5.112)

где  - -й столбец матрицы , то для элементов -го столбца из (5.111) имеем следующее уравнение:

   .                     (5.113)

Для элемента , стоящего на пересечении -й строки и -гo столбца из (5.113) нетрудно найти

      ,                 (5.114)

где  - элемент матрицы , стоящий на пересечении -й строки и -гo столбца.

Из условия (5.105) следует, что элементы матрицы  должны кроме того, удовлетворять следующему уравнению:

,                     (5.115)

обеспечивающего выполнение требований ортогонализации и нормирования линейного преобразования.

Наконец, собственные значения  матрицы  находятся как решения характеристического уравнения

.              (5.116)

Осуществив указанные преобразования, находим, что многократный интеграл в (5.109) превращается в произведение однократных интегралов

             (5.117)

Интеграл под знаком произведения табличный; вычисляя его, получаем

                       (5.118)

Так как определитель матрицы инвариантен при ортогональном линейном преобразовании, то

.                   (5.119)

Вспоминая (5.101) и подставляя в (5.118), имеем

.             (5.120)

Известно, что определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей, т. е.

.                       (5.121)

Так как матрица  действительная и симметричная, то можно подобрать такое новое ортогональное линейное преобразование , которое ее диагонализирует. Используя инвариантность определителя к такому преобразованию, имеем

.                       (5.122)

Но

,               (5.123)

а матрица

,                        (5.124)

диагональна, так что

.                   (5.125)

Таким образом, окончательно получаем

,

где  находятся как корни уравнения

,

что и требовалось доказать.

5 (к § 5.2). Многие задачи вычисления вероятностей ошибок при медленных релеевских замираниях (например, методом, описанным в предыдущем примечании) решаются значительно более просто, чем такие же задачи для случая отсутствия замираний. Если рассматривается система с активной паузой, то, зная вероятность ошибок  при релеевских замираниях, можно вычислить вероятность ошибок  без замираний, пользуясь методом, предложенным Н. П. Хворостенко [14]. На основании (5.8) при релеевских замираниях

.                     (5.126)

Обозначим ; . Тогда

,                  (5.127)

откуда следует, что функция  представляет собой преобразование Карсона-Лапласа функции  [32]. Следовательно, зная «изображение» , можно найти «оригинал»  методами операционного исчисления, используя, например, теорему разложения Хевисайда, формулу обращения Римана-Меллина и т. д.

Наконец, в большинстве случаев можно найти  с помощью одного из многих существующих справочников по операционному исчислению, например [33].

Так, из формулы (5.17а) для двоичной ортогональной системы имеем

,

и из любого справочника легко находим

или

.

Таким образом из формулы (5.19), которая сравнительно легко выводится из корреляционной матрицы (см. стр. 354-357), можно получить формулу (4.61) более просто, чем это было сделано в гл. 4.

6 (к § 5.3). Во многих работах (например, [34, 35]) вычисляется вероятность ошибки при совместном действии интерференционных (обычно релеевских) и абсорбционных замираний, т. е. флюктуаций поглощения в среде, в которой распространяется сигнал. Для абсорбционных замираний предлагаются различные законы распределения, чаще всего, как уже упоминалось, нормально-логарифмическое, а иногда -распределение. При этом не учитывается, что скорость даже весьма «медленных» (в смысле ) интерференционных замираний обычно на несколько десятичных порядков больше скорости абсорбционных замираний. Поскольку вычисляется средняя вероятность ошибочного приема символа, такой учет и не требуется. Однако нельзя не заметить, что такая «средняя» вероятность ошибки характеризует канал не лучше, чем средняя температура человека на протяжении 10 лет характеризует состояние его здоровья.

Средняя вероятность ошибочного приема символа является полезной, хотя и не полной, характеристикой канала с замираниями лишь в том случае, когда длительность передаваемого законченного (смыслового) сообщения превышает средний период замираний. При этом условии она позволяет оценить ожидаемое число ошибочно принятых символов в сообщении. Для более полной характеристики, как уже отмечалось в § 5.3, следует указать, как группируются ошибки в канале, что определяется скоростью замираний. Такая ситуация обычно имеет место при интерференционных замираниях. Так, в коротковолновых каналах  колеблется в пределах от нескольких десятков долей секунды до нескольких секунд, тогда как передача законченного сообщения длится обычно не менее нескольких десятков секунд. Аналогичные соотношения имеют место и в тропосферных каналах, в которых сообщения передаются значительно быстрее, но и скорость интерференционных замираний выше, чем в коротковолновых каналах.

Иначе обстоит дело при абсорбционных замираниях, когда величина  нередко доходит до нескольких часов. Тогда даже при очень большой средней вероятности ошибок может оказаться, что многие сеансы связи проходят практически без ошибок, тогда как другие вовсе не проходят. С точки зрения практического использования такой канал лучше характеризовать вероятностью того, что за время  сеанса связи вероятность ошибок не превысит некоторой допустимой величины. Если  существенно меньше среднего периода абсорбционных замираний, то эта вероятность не зависит от  и ее часто называют коэффициентом исправного действия канала  [38].

Приведем пример вычисления коэффициента исправного действия. Пусть в канале имеют место интерференционные релеевские и абсорбционные нормально-логарифмические замирания, т. е. плотность распределения вероятностей коэффициента передачи  выражается формулой (5.3), где, однако,  - медленно меняющаяся (вследствие абсорбционных замираний) случайная величина, имеющая нормально-логарифмическое распределение вероятностей

,                       (5.128)

где  - математическое ожидание ;  - его дисперсия.

Пусть канал считается исправным, если вероятность появления хотя бы одной ошибки в 100-разрядной кодовой комбинации не превышает . Как было показано в конце § 5.3, для этого должно выполняться неравенство

или

,

где  - мощность сигнала на выходе передатчика.

Коэффициент исправного действия в этом случае равен вероятности того, что

или

l.               (5.129)

Из (5.128) легко определить, что эта вероятность равна

;                 (5.130)

где .

В частности, если , то . Для того чтобы коэффициент исправного действия равнялся 0,9 согласно таблицам функции Крампа, величина  должна равняться

,

а для

.

При  (что является весьма умеренным значением для коротковолнового канала) это значит, что для перехода от  к  мощность передатчика нужно увеличить на 2,58 неп, т. е. в  раз, а для перехода от  к  - на 4,7 неп или в  раз.

С другой стороны, если можно ограничиться значением , то , т. е. требуемая мощность передатчика при  оказывается на 2,58 неп, т. е. в 13 раз меньше, чем при , или почти в 1500 раз меньше, чем при .

Неудивительно, что радиолюбители-коротковолновики иногда устанавливают связь на тысячи километров, имея в своем распоряжении передатчик мощностью в несколько ватт, тогда как для обеспечения достаточно регулярной профессиональной радиосвязи на той же трассе приходится использовать мощность в десятки киловатт.

7 (к § 5.4). Изложенный здесь метод учета влияния скорости замираний на вероятность ошибок публикуется впервые. Основная его идея, состоящая в том, что только часть мощности сигнала может в данных условиях рассматриваться как полезная, была впервые предложена Н. П. Хворостенко [13, 14, 37]. С несколько иных позиций такая же задача рассмотрена в [36], исходя из спектрального представления замирающего сигнала. Результаты этой работы качественно совпадают с изложенными в тексте.

Как уже отмечалось, выводы § 5.4 являются лишь грубо приближенными и ими можно пользоваться лишь при . При более точном рассмотрении следовало бы учесть, что дополнительный член  в (5.65) может быть различным образом коррелирован с сигналами . Поэтому в зависимости от используемой системы сигналов наличие замираний с ненулевой скоростью может проявляться не только как уменьшение полезной мощности и увеличение мощности помехи, но и как нарушение ортогональности сигналов.

Заметим, что в § 5.4 мы впервые на протяжении этой книги столкнулись со случаем, когда вероятность ошибки зависит не только от интегральных характеристик сигналов (таких, как энергия, скалярное произведение, котельниковское расстояние), но и от их «тонкой структуры». В дальнейшем такие случаи будут встречаться довольно часто.