9.3. Критерии приема и решающие схемы

В любой синхронной системе уплотнения элемент принимаемого сигнала несет информацию о сообщениях, исходящих от всех  источников. Пусть сообщение каждого источника закодировано кодом с основанием . Тогда, как было указано, число реализаций сигнала равно . Если к системе предъявляется требование максимизации вероятности правильного приема всех передаваемых сообщений, то решающая схема должна определяться критерием идеального наблюдателя. В частном случае, когда все реализации сигнала равновероятны, этот критерий совпадает с критерием максимума правдоподобия.

Пусть  — принимаемый сигнал. Решающая схема, основная на критерии идеального наблюдателя, должна отождествить его с тем из возможных передаваемых сигналов , для которого выполняется система неравенств

,  .                        (9.3)

Определив наиболее вероятный переданный сигнал  и зная построение системы, можно однозначно установить, какой символ передавался каждым источником.

Хотя правило решения (9.3) обеспечивает максимум вероятности правильного приема всех сообщений в уплотненном канале, оно не всегда гарантирует минимум вероятности ошибок  в каждом из сообщений. Это легко понять, если учесть, что при ошибочном отождествлении принятого сигнала  с переданным  не все сообщения будут приняты ошибочно. Критерий идеального наблюдателя, на основании которого получено правило (9.3), относится ко всему принимаемому сигналу и минимизирует вероятность ложного отождествления сигнала  независимо от того, сколько сообщений будут при этом поражены ошибкой.

Если требуется минимизировать вероятность ошибок в каждом из сообщений, то критерий идеального наблюдателя следует применять к отдельным сообщениям. Рассмотрим -й источник в системе уплотнения. Все  реализаций сигнала  можно разделить на  подмножеств, каждое из которых соответствует одному из символов -го сообщения. Решающая схема, на которую поступает сигнал , должна определить апостериорные вероятности всех символов в данном сообщении и выбрать из них тот, для которого она максимальна. Другими словами, в -м сообщении должен быть зарегистрирован символ , если

, .                 (9.4)

Здесь верхний индекс у  означает номер сообщения в системе уплотнения.

Таким же образом определяются наиболее вероятные символы остальных сообщений.

Пусть  и  означают подмножества реализаций сигнала , соответствующие символам  и  в - м сообщении. Правило (9.4) можно записать так:

,                            (9.5)

для всех .

Для многих систем уплотнения правило (9.5) совпадает с (9.3). Однако существуют системы, для которых правила (9.3) и (9.5) не эквивалентны и приводят к различным решающим схемам и к различным распределениям ошибок [5]. В этих случаях возникает вопрос, каким же из двух правил следует пользоваться?

На этот вопрос нельзя ответить однозначно. Наиболее подходящее правило следует определять в зависимости от требований, предъявляемых к системе связи, и от характера передаваемых сообщений. Пусть, например, при кодировании сообщений в значительной степени устранена избыточность. Тогда любая ошибка, возникшая при приеме, почти полностью обесценивает все сообщение, а в некоторых случаях может привести к непоправимым последствиям. В этой ситуации было бы неверным стремиться к уменьшению среднего числа ошибок в сообщении, а следует увеличивать вероятность безошибочного приема всего сообщения. Так, например, решающая схема, которая обеспечивает в 50% случаев безошибочный прием сообщения, а в остальных 50% случаев один ошибочно принятый символ, будет в такой ситуации хуже, чем другая решающая схема, обеспечивающая в 90% случаев безошибочный прием, а в 10% случаев — по 100 ошибочных символов, хотя во втором случае среднее число ошибок будет в 20 раз больше, чем в первом. Очевидно, что в подобных условиях разумно пользоваться правилом (9.3), т. е. минимизировать .

В других же случаях, например при передаче текста, содержащего значительную избыточность, разумнее пользоваться правилом (9.5), минимизируя , поскольку небольшое число ошибок в каждом сообщении может быть исправлено по контексту.

Для сравнения между собой систем с различной кратностью уплотнения можно пользоваться либо вероятностями ошибок  в отдельных сообщениях, либо эквивалентной вероятностью ошибки . Последняя по аналогии с (2.65) связана с  монотонной зависимостью . Поэтому условие минимума  совпадает с условием минимума .

Если отвлечься от способа формирования сигнала уплотняющими сообщениями, можно рассматривать сигнал , передаваемый по уплотненному каналу любой синхронной системе, как полученный путем кодирования всех передаваемых сообщений кодом с основанием . Тогда  представляет собой попросту вероятность ошибки в системе связи с основанием кода , и задача ее вычисления ничем не отличается от рассмотренной в предыдущих главах. Правда, она решена далеко не во всех случаях. Ниже будет дано ее решение для некоторых систем уплотнения. Наряду с этим будут получены также выражения для .

Независимо от правила решения вероятность ошибки в общем сигнале  и вероятность ошибки в -м сообщении  связаны следующими неравенствами:

.                (9.6)

Действительно, поскольку  представляет вероятность того, что хотя бы одно из сообщений принято ошибочно, она не может быть меньше вероятности ошибки  в любом из сообщений и в то же время не может быть больше суммы вероятностей ошибок во всех сообщениях. Первое неравенство переходит в равенство, если ошибки в сообщениях происходят одновременно; второе неравенство переходит в равенство, если при всяком ошибочном отождествлении сигнала ошибка имеет место только в одном из сообщений.

Будем обозначать  и  вероятности ошибок в - м сообщении при использовании правил решений соответственно (9.3) и (9.5). Аналогичные обозначения  и  примем для вероятностей ошибочного отождествления уплотненного сигнала. Из сущности критериев, использованных при выводе правил решения, имеем

.                       (9.7)

Совместное использование неравенств (9.6) и (9.7) позволяет оценить изменение вероятностей ошибок при переходе от одного правила решения к другому. Так

,

где  — средняя вероятность ошибок по всем  сообщениям, откуда

.                     (9.8)

С другой стороны,

,

откуда

.                             (9.9)

Для некоторых систем уплотнения эти неравенства будут уточнены ниже.