Системы МФТ

В неортогональных комбинационных системах  реализации общего сигнала могут быть выбраны совершенно произвольно. Поэтому трудно найти такие закономерности, которые были бы верны для любой системы. Мы ограничимся рассмотрением трех вариантов не ортогональных комбинационных систем — МФТ, МОФТ и МЧТ.

В многократных системах с фазовой манипуляцией (МФТ) реализации сигнала представляют собой отрезки синусоиды определенной частоты с начальной фазой, принимающей  различных значений:

,  .                                (9.31)

База такого сигнала равна 2, и, следовательно, условная полоса частот  независимо от кратности уплотнения .

Вследствие того что информация заключена в начальной фазе сигнала, здесь возможен только когерентный прием. В дальнейшем, с целью упрощения, будем полагать , т. е. , поскольку только такие системы находят практическое применение. При  система называется двойной фазовой телеграфией (ДФТ).

Разложим принимаемый сигнал  в ряд Фурье на интервале . Легко видеть, что вся информация о переданных сообщениях заключена в начальной фазе . Будем в соответствии с правилом (9.3) минимизировать общую вероятность ошибки . Из результатов гл. 3 ясно, что принятый сигнал должен отождествляться с реализацией , если

                          (9.32)

Область правильного приема, как показано на рис. 9.6, определяется значениями , лежащими в пределах

.                                              (9.33)

Таким образом, в пространстве принимаемых сигналов плоскость, соответствующая составляющей с частотой , разделена на  секторов. Для -го сообщения существует  секторов, соответствующих символу «0», и  секторов, соответствующих символу «1».

Если теперь исходить из правила (9.5), минимизирующего , то нетрудно убедиться, что в -м сообщении должен регистрироваться символ «0», если значение  в принятом сигнале лежит внутри одного из  секторов, соответствующих этому символу. Определяя таким образом символы всех  сообщений, придем к тому, что совокупность всех принятых символов однозначно определяется тем сектором, в котором находится значение , т. е. к правилу (9.33). Таким образом, для систем МФТ, так же как и для ортогональных разделимых систем, и в отличие от ортогональных комбинационных систем, правила (9.3) и (9.5) совпадают. Это значит, что если задан манипуляционный код (т. е. установлено соответствие между реализациями сигнала (9.3) и совокупностью символов сообщений), то решающая схема, минимизирующая  обеспечивает и относительный минимум  для каждого сообщения.

Рис. 9.6. Область правильного приема при МФТ.

Величина  очевидно, не зависит от выбранного манипуляционного кода. Что же касается вероятности  то для различных манипуляционных кодов и для различных сообщений она принимает, вообще говоря, различные значения. В этом легко убедиться, рассматривая рис. 9.7. Пусть в некоторой системе символу «0» в -м сообщении соответствуют заштрихованные секторы. Очевидно, что при компактном расположении заштрихованных секторов (рис. 9.7а) вероятность правильного приема -го сообщения, т. е. вероятность того, что помеха не выведет принятый сигнал из заштрихованной области, больше, чем при некомпактном расположении (рис. 9.7,б).

Таким образом, для того чтобы обеспечить абсолютный минимум  нужно применить решающую схему, минимизирующую  и выбрать такой манипуляционный код, который обеспечивает наиболее компактное расположение секторов, соответствующих определенному символу в -м сообщении. Так как сумма всех секторов, соответствующих одному символу (заштрихованных на рис. 9.6), равна , то наиболее компактное расположение имеет место, когда все они находятся по одну сторону прямой. Это условие, однако, можно выполнить только для двух сообщений. Если , то 3-е, 4-е и последующие сообщения не могут иметь такое расположение секторов, и, следовательно, при любом манипуляционном коде вероятность ошибок для этих сообщений больше, чем абсолютно минимальная. Принято нумеровать сообщения в порядке возрастания .

Рис. 9.7. Влияние манипуляционного кода на вероятность ошибки

 в -м сообщении: а) компактное расположение секторов; б) некомпактное расположение секторов.

При выборе манипуляционного кода можно исходить из различных критериев оптимальности, например, минимизировать среднюю вероятность ошибок во всех сообщениях , либо добиваться минимума наибольшей из вероятностей ошибок по всем сообщениям, либо добиваться наиболее равномерной вероятности ошибок по всем сообщениям и т. д. Наименьшую среднюю вероятность ошибок обеспечивает известный манипуляционный код Грэя [8]. Для этого кода секторы, соответствующие одному символу в 1-м и 2-м сообщениях, расположены очень компактно, для 3-го сообщения образуют две группы, занимающие по 90°, для 4-го сообщения — 4 группы по 45° и т. д., как показано на рис. 9.8. Сопоставление угла  совокупностям символов для  дано в табл. 9.1.

Рис. 9.8. Расположение секторов для МФТ при  (код Грея).

Таблица 9.1

Если значение фазы передаваемого сигнала будет ошибочно отождествлено с соседним (что при флюктуационной помехе более вероятно, чем любая другая ошибка), то в результате этого при коде Грея будет искажено только одно из  сообщений. Другие коды, обладающие тем же свойством, описаны в работе [9].

Общая вероятность ошибки  при оптимальном когерентном приеме полностью известного сигнала МФТ представляет собой вероятность того, что модуль фазы суммы гармонического сигнала  и составляющей помехи  превысит . При нормальной флюктуационной помехе, когда  и — гауссовские случайные величины, эта вероятность согласно (3.71а) равна

.                       (9.34)

где  — функция Никольсона [10].

В частности, при ,

,                              (9.35)   

что совладает с (3.45), а при  (ДФТ)

,                  (9.36)

что может быть получено также из (3.70а).

При больших кратностях уплотнения и малых вероятностях ошибок можно пользоваться довольно точной оценкой

.                        (9.37)

При медленных релеевских замираниях для ДФТ, усредняя (9.36) по h, как это делалось в гл. 5, получим

.                        (9.38)

При  и  из (9.34), как показал Н. П. Хворостенко, можно получить оценку

.                     (9.39)

Для вычисления вероятности ошибок  в сообщении системы ДФТ заметим, что ее можно рассматривать как ортогональную (в общем смысле) разделимую систему. Действительно, сигнал (9.31 при)  можно представить в виде

                   (9.40)

Таким образом, сигнал  разлагается на сумму двух взаимно ортогональных индивидуальных сигналов  и , каждый из которых имеет две противоположные реализации и несет информацию о своем сообщении. Отсюда следует, что ошибки в обоих сообщениях при отсутствии замираний независимы и, кроме того, из соображений симметрии, . Поэтому вероятность правильного приема обоих сообщений равна

,                   (9.41)

откуда

.                          (9.42)

Учитывая 9.36, получаем

,                    (9.43)

что совпадает с вероятностью ошибки для двоичной системы ЧТ три когерентном приеме. При релеевских замираниях, усредняя (9.43), найдем

.                                (9.44)

При  и коде Грэя вероятности ошибок  при отсутствии замираний можно вычислить, рассматривая рис. 9.9. Жирными стрелками показаны векторы, изображающие реализации сигнала , а пунктирными линиями — границы между различными решениями.

Рис. 9.9. К вычислению вероятности ошибок для МФТ при

Пусть передавался сигнал 000. Ошибка в 1-м сообщении возникнет, если составляющая помехи, направленная по стрелке , превзойдет величину , поскольку сумма сигнала и помехи окажется по другую сторону границы, обозначенной I и разделяющей области, соответствующие «0» и «1» в 1-м сообщении. Составляющая помехи, ортогональная к стрелке , на ошибки в 1-м сообщении не влияет. Вероятность такой ошибки, как легко вычислить, равна

.

Такова же будет вероятность перехода «0» в «1» в первом сообщении, если передавался сигнал 010.

В случае же передачи сигнала 001 или 011 составляющая помехи, направленная по b (или c), должна превзойти величину , что произойдет с вероятностью

.

Полагая, что все сигналы передаются равновероятно, найдем, что полная вероятность ошибки в 1-м сообщении равна

.                                              (9.45)

Легко убедиться, что такова же будет вероятность ошибки  во втором сообщении.

Для определения вероятности ошибки  в третьем сообщении рассмотрим, например, сигнал 001. Единица в третьем сообщении перейдет в нуль, если составляющая помехи, направленная по стрелке , превзойдет  или ортогональная ей составляющая, направленная по стрелке , превзойдет . Аналогичное условие имеет место при передаче любого другого сигнала. Поскольку составляющие помехи независимы, легко вычислить [11].

     (9.46)

Эта вероятность почти вдвое больше вероятностей ошибок в 1-м и 2-м сообщениях.

При  вычисление вероятностей ошибок становится более сложным. Однако при коде Грэя, если вероятность ошибки очень мала, можно воспользоваться тем, что при ошибочном отождествлении принятой реализации сигнала ошибка почти во всех случаях произойдет только в одном из сообщений. Поэтому средняя по всем сообщениям вероятность ошибки  приблизительно в  раз меньше, чем  или, учитывая (9.37) и (9.39), в канале без замираний

,                            (9.47)

а в канале с медленными релеевскими замираниями

.                                (9.48)

Рис. 9.10. Средние вероятности ошибочного приема символа сообщения системы МФТ в канале без замираний.

Анализ полученных выражений показывает, что с увеличением кратности уплотнения средняя вероятность ошибки  в системах МФТ, в отличие от ортогональных комбинационных систем, быстро возрастает. Это видно из рис. 9.10, где сплошными линиями показаны точные, а пунктирными — приближенные зависимости средней вероятности ошибок от  для канала без замираний. Поэтому такие системы целесообразно применять для каналов, в которых большая пропускная способность обусловлена высоким отношением мощности сигнала к мощности помехи, а полоса пропускания мала.