Выбор кода для системы с переспросом

В настоящее время не известны методы, позволяющие находить для систем с переспросом оптимальный код, обеспечивающий максимум относительной скорости передачи при заданной верности или максимальную верность при заданной скорости. Однако можно привести некоторые соображения о направлениях поиска такого кода. Начнем с рассмотрения постоянного дискретного канала.

Прежде всего, заметим, что согласно (11.4) эквивалентная вероятность ошибки пропорциональна вероятности необнаруженной ошибки . Поэтому в первую очередь нужно обеспечить достаточно малое значение . Из (11.6) и (11.7) можно заключить, что для этого код должен иметь достаточно большое минимальное хеммингово расстояние . С другой стороны, код должен иметь небольшую избыточность, т. е. отношение  не должно быть очень малым, так как в противном случае уменьшится относительная скорость передачи. Для того чтобы при малой избыточности обеспечить большое  нужно применить код с большой длиной .

Но увеличение  влечет за собой повышение вероятности обнаруженной ошибки  что, в свою очередь, понижает относительную скорость передачи (11.2), (11.11), (11.13) и увеличивает эквивалентную вероятность ошибки (11.4). Очевидно, должна существовать оптимальная длина кода , зависящая от вероятности ошибки в канале, а также от скорости передачи и дальности связи, определяющих длину блокировки . При выборе значения  меньше оптимального возрастает вероятность необнаруженной ошибки либо, если для сохранения верности увеличить избыточность, уменьшается относительная скорость передачи. При выборе  больше оптимального возрастает вероятность обнаруженной ошибки, что также понижает и верность и скорость. Найти оптимальное  аналитически не удается, так как мы не имеем аналитического выражения для . Поэтому приходится пользоваться последовательными приближениями.

Таким образом, для уменьшения  нужно увеличить , а для снижения  нужно его уменьшать. Это противоречие можно разрешить, применяя итеративный код и итеративную процедуру переспроса [17]. При этом используется несколько ступеней кодирования и несколько ступеней проверок. В простейшем случае, для двухступенчатого кода, символы кодовой комбинации образуют прямоугольную таблицу (рис. 11.3). Проверочные символы предусмотрены для каждой строки и для каждого столбца. Каждая принятая строка проверяется на наличие ошибок, и при их обнаружении посылается сигнал переспроса строки, которая повторяется, пока не окажется принятой без обнаруженных ошибок. После того как принята вся таблица без обнаруженных ошибок по строкам, производится проверка по столбцам. Если при этом обнаружена ошибка хотя бы в одном столбце, то переспрашивается вся таблица.

При достаточно короткой строке время, затрачиваемое на повторение строк, невелико и мало снижает относительную скорость передачи. Правда, при этом существует значительная вероятность необнаруженной ошибки в строке, но это не опасно, поскольку такие ошибки будут обнаружены при проверке по столбцам. С другой стороны, после исправления обнаруженных ошибок в строках вероятность ошибки в таблице значительно снижается. Поэтому необходимость переспроса таблицы возникает значительно реже, чем при использовании обычного кода такой же длины и с такой же избыточностью.

Рис. 11.3. Построение двухступенчатого итеративного кода.

Аналогично строится итеративная система с тремя ступенями и более. В работе [17] показано, что оптимальным кодом на каждой ступени является код с одним проверочным символом с простой проверкой на четность. С увеличением числа ступеней можно обеспечить сколь угодно малую эквивалентную вероятность ошибки, при скорости передачи, составляющей 27% от пропускной способности канала.

Значительный интерес представляет выбор кода для системы с переспросом в дискретном канале с памятью. В большей части случаев, встречающихся па практике, когда вероятность ошибки  меняется медленно, этот код можно выбрать так, чтобы обеспечить заданную эквивалентную вероятность ошибок. При использовании не менее 30-50% пропускной способности канала. Выбор кода основан па следующей идее. В относительно хороших состояниях канала, когда , нетрудно обеспечить высокую верность при достаточно большой относительной скорости передачи. С увеличением  эквивалентная вероятность ошибки неминуемо возрастает, но одновременно уменьшается относительная скорость передачи. Пусть  - то значение мгновенной вероятности ошибки в канале, при которой эквивалентная вероятность ошибки равна допустимой. Выбрав код с достаточно большой длиной  и с достаточной избыточностью, можно обеспечить, чтобы  превышало медианную вероятность ошибки в заданном канале.

Среднее время, затрачиваемое на передачу получателю одной кодовой комбинации в определенном состоянии канала, равно

,                      (11.15)

где  - как и выше, длительность элемента сигнала.

Обозначим через  среднюю продолжительность пребывания канала в состояниях, при которых . Если код выбран так, что значение  в этих состояниях удовлетворяет условию

,                       (11.16)

то это значит, что в состояниях, когда , практически ни одна кодовая комбинация не поступит к получателю, т. е. передаваемая комбинация будет повторяться до тех пор, пока вероятность ошибки в канале не снизится. В «хороших» же состояниях, при , сообщения будут передаваться с верностью не ниже заданной.

Условие (11.16) можно всегда выполнить, выбрав достаточную длину комбинации (что увеличивает  при больших ) и достаточную длительность блокировки . В то же время при  относительная скорость передачи  может быть довольно большой. Поскольку  больше медианного значения, «хорошие» состояния канала при  будут занимать больше 50% времени и средняя скорость передачи информации окажется достаточно большой.

Не останавливаясь на подробностях выбора кода, приведем несколько упрошенный пример. Пусть в канале с равными вероятностями имеют место три состояния, характеризуемые вероятностями ошибок ,  порядка ,  или даже  (полный обрыв связи), причем среднее время пребывания в каждом состоянии равно 10 сек. Примем техническую скорость передачи равной 1000 бод и потребуем, чтобы эквивалентная вероятность ошибок не превышала .

Эти условия можно выполнить, применив код Боуза-Чоудхури [63, 45] в системе с блокировкой при . На рис. 11.4 показана для этого случая зависимость среднего времени , затрачиваемого на передачу кодовой комбинации, от вероятности сшибок , построенная по формулам (11.15), (11.11) и (11.9).

Рис 11.4. Эквивалентная вероятность ошибки  и среднее время передачи кодовой комбинации  для кода (63,45) при бод: –––––– ; ----------- .

Там же нанесена зависимость  от  из рис. 11.2. Для иллюстрации роли блокировки пунктиром показана также кривая для  в системе без блокировок. Как видно из рисунка, в первом состоянии канала сообщение передается с большой скоростью, порядка 16 комбинаций (около 720 дв. ед.) в секунду, а эквивалентная вероятность ошибок при этом значительно меньше . Во втором состоянии  скорость передачи резко уменьшается и за секунду передается не более 1-2 комбинаций (45-90 дв. ед.), а эквивалентная вероятность ошибок достигает . В третьем состоянии кодовая комбинация могла бы быть передана в среднем за два года или более, если бы это состояние сохранялось. Фактически же в этом состоянии передача вовсе прекращается и приемник остается заблокированным, пока состояние не изменится. Вероятность принять кодовую комбинацию в этом состоянии так мала, что не влияет на среднюю эквивалентную вероятность ошибки, которая, таким образом, не превышает . Средняя скорость передачи составляет около 6 комбинаций (270 дв. ед.) в секунду, т. е. свыше 27% от пропускной способности канала в наилучшем состоянии.

Как видно из рисунка, этот код дает хорошие результаты для любого канала, в котором медианное значение вероятности ошибок близок к . При меньшем медианном значении  следует применять более длинные кодовые комбинации, при большем медианном значении - более короткие комбинации. Таким образом, система с переспросом позволяет успешно использовать «плохие» каналы, в которых вероятность ошибки колеблется вокруг довольно большого значения и даже имеют место кратковременные обрывы связи.