9.4. Разделимые и квазиразделимые системы уплотнения

Ортогональные разделимые системы

В ортогональных разделимых системах реализации индивидуальных сигналов  в (9.1), относящиеся к различным сообщениям, взаимно ортогональны. Различные реализации одного индивидуального сигнала ( при различных ) могут при этом не быть ортогональными. Будем полагать, что ортогональность сохраняется и после прохождения сигнала через канал. Это значит, например, что для канала со случайно изменяющейся фазой ортогональность должна выполняться в усиленном смысле. Условие сохранения ортогональности хотя бы в первом приближении может быть выполнено для всех используемых на практике каналов путем надлежащего выбора сигналов.

Если ортогональность обеспечивается тем, что сигналы не прекрываются по времени, то получается система с временным уплотнением. Для каждого источника выделяется часть длительности элемента сигнала , равная . Для каналов с ограниченной полосой пропускания или с многолучевым распространением с целью сохранения ортогональности приходится использовать не весь интервал, а только часть его, равную  где  — максимальное растяжение сигнала при его прохождении через канал.

При частотном уплотнении, если индивидуальные сигналы являются простыми отрезками синусоид с частотами, кратными , ортогональность нарушается в канале с достаточно быстрыми замираниями. Впрочем, в обычных условиях коротковолнового радиоканала, при  порядка десятков миллисекунд и менее, этими нарушениями ортогональности можно пренебречь. При более быстрых замираниях или при большей длительности элемента сигнала приближенной ортогональности при частотном уплотнении добиваются путем использования узкополосных ортогональных сигналов, разнося их по частоте так, чтобы спектры практически не прекрывались даже с учетом расширения спектра вследствие замираний.

Возможны, конечно, и другие ортогональные разделимые системы уплотнения, хотя и не нашедшие пока практического применения.

Рассмотрим решающую схему для ортогональной разделимой системы, основанную на правиле решения (9.3). Для упрощения задачи ограничимся гауссовским каналом с постоянными параметрами. Допустим также, что все сообщения статистически независимы и что символы каждого сообщения равновероятны. Поскольку (9.3) совпадает с правилом решения для неуплотненного сигнала при основании кода  решение о том, что передавался групповой сигнал , должно приниматься в соответствии с (3.24а), если

,                 (9.10)

для .

Для разделимой согласно (9.1)

,

где индекс  означает тот индивидуальный сигнал, который соответствует -му сообщению в групповом сигнале . Подставляя это выражение в (9.10), получим

,

но

.        (9.11)

Подставив (9.11) в (9.10), учитывая условие ортогональности и полагая, что все сигналы  имеют одинаковую мощность, получим эквивалентное правило решения в виде

,                           (9.12)

где неравенства должны выполняться для всех сочетаний индивидуальных сигналов , отличающихся от того сочетания, которое образует групповой сигнал . Следовательно, (9.12) должно выполняться и для группового сигнала , отличающегося от  только символом в некотором -м сообщении. Следовательно, система неравенств (9.12) эквивалентна системе

,                         (9.13)

Это правило можно реализовать в решающей схеме, содержащей  фильтров, согласованных со всеми реализациями индивидуальных сигналов  (рис. 9.2), на которые подается принимаемый сигнал . В момент отсчета сравниваются напряжения в каждой группе из  фильтров, согласованных с реализациями индивидуального сигнала , и решения принимаются по каждому сообщению отдельно.

Рис. 9.2. Решающая схема для разделимой системы.

Легко убедиться, что к такой же решающей схеме можно привести и правило (9.5).

Совершенно аналогично можно рассмотреть прием сигналов по правилам (9.3) и (9.5) для канала со случайно меняющейся фазой, а также для любого канала с переменными параметрами при условии, что на выходе канала индивидуальные сигналы различных сообщений остаются ортогональными. Во всех случаях решающая схема разделяется на  отдельных схем для каждого сообщения, каждая из которых совпадает с решающей схемой для индивидуального сигнала , используемого без уплотнения. Это можно было бы заранее предположить, поскольку сигнал не влияет на результат оптимальной обработки другого сигнала, если они ортогональны.

Таким образом, для ортогональных разделимых систем правила (9.3) и (9.5) эквивалентны, и, следовательно, для них неравенства (9.7) переходят в равенства.

При сделанных предположениях вероятность ошибки  при приеме -го сообщения не зависит от ошибок в остальных сообщениях, поскольку ортогональные сигналы не влияют на напряжение на согласованных фильтрах в момент отсчета. Поэтому  можно вычислять по тем же формулам, которые были получены для неуплотненных каналов, полагая, что передается только индивидуальный сигнал  и понимая под  отношение энергии индивидуального сигнала к спектральной плотности аддитивной помехи. Если все индивидуальные сигналы изоморфны, а помеха представляет собой нормальный белый шум, то для всех сообщений вероятности ошибок  одинаковы. При заданной вероятности ошибки  и фиксированной спектральной плотности помехи мощность группового сигнала должна быть в  раз больше, чем мощность сигнала в неуплотненном канале.

В канале без замираний ошибки в различных сообщениях, очевидно, не коррелированны. Поэтому вероятность ошибки  в общем сигнале равна

.                        (9.14)

Из (9.14) видно, что при  эквивалентная вероятность ошибки  совпадает с .

В канале с замираниями, а также при сосредоточенных или импульсных помехах ошибки в различных сообщениях, вообще говоря, коррелированы и зависимость между  и  оказывается более сложной. Степень этой корреляции зависит от свойств канала и конкретной системы уплотнения. Так, при селективных замираниях и частотном уплотнении ошибки в -м и -м сообщениях слабо коррелированы, если спектры сигналов  и  достаточно разнесены. При чисто импульсных помехах ошибки сильно коррелированы для систем частотного уплотнения и практически не коррелированы для систем временного уплотнения, а при сосредоточенных помехах наоборот.

Определим наименьшую условную полосу частот, занимаемую групповым сигналом в ортогональной разделимой системе уплотнения. Значение этого параметра обусловливается тем, что он позволяет судить об эффективной ширине спектра, что особенно важно при уплотнении канала с ограничениями, наложенными на передаваемую полосу частот.

Множество элементов сигнала длительностью , занимающих условную полосу частот F, изоморфно векторному -мерному пространству, где  — база сигнала. Поскольку ортонормальный базис такого пространства содержит  векторов, то максимальное число взаимно ортогональных сигналов равно . Заметим, что существует бесконечное число ортогональных систем, каждой из которых соответствует своя ориентация базисных векторов.

Легко показать, что максимальное число сигналов, взаимно ортогональных в усиленном смысле, вдвое меньше этой величины. Рассмотрим для этого полную систему  ортогональных в усиленном смысле сигналов, нормированных по мощности. Пусть одним из этих сигналов является . Сопряженный с ним сигнал   в эту систему не входит, так как он не удовлетворяет условию ортогональности в усиленном смысле с . Однако в обычном смысле он ортогонален , а также всем остальным сигналам системы по определению. Кроме того, два сигнала, сопряженные с любыми двумя сигналами системы, ортогональны между собой, а следовательно, не совпадают. Поэтому, дополнив систему  сопряженными сигналами, получим систему сигналов, попарно ортогональных в обычном смысле. Эта система полная, в противном случае можно было бы к ней добавить некоторый сигнал , ортогональный всем сигналам исходной системы  и сопряженным сними сигналам, т.е. ортогональный всем сигналам системы  в усиленном смысле, что противоречит предположению о том, что  — полная система сигналов, ортогональных в усиленном смысле. Следовательно, система  содержит ровно половину сигналов полной системы, ортогональной в обычном смысле, т. е.  сигналов.

Теперь можно определить минимальное значение условной полосы частот ортогональной разделимой системы уплотнения, если заданы число  уплотняющих сообщений и основание кода  для каждого из них. При  возможна система, в которой две реализации индивидуального сигнала  противоположны, а ортогональность с другими индивидуальными сигналами выполняется в обычном смысле. Тогда , откуда

.                     (9.15)

Такая система допускает только когерентный прием. При некогерентном приеме ортогональность должна выполняться в усиленном смысле. Две реализации индивидуального сигнала могут быть при этом противоположными, если применить относительную фазовую манипуляцию. Тогда

.                        (9.16)

Эта формула остается справедливой и при , если  реализаций индивидуального сигнала  образуются в виде линейной комбинации одной реализации  и сопряженной с ней реализации . Чаще всего, однако, применяются системы, в которых все реализации индивидуальных сигналов взаимно ортогональны в усиленном смысле, например системы ЧТ с частотным или временным уплотнением. Так как общее число реализаций равно , то для таких систем

.                     (9.17)

Таким образом, если длительность элемента  задана, то во всех ортогональных разделимых системах условная полоса частот  пропорциональна кратности уплотнения.