§3.7. Формула Грина
Для
достаточно общих плоских областей 
с положительно ориентированной
границей 
справедлива
формула
, (1)
называется
формулой Грина. Здесь предполагается, что 
непрерывны на замыкании 
области .
Начнем
с того, что рассмотрим плоскую область , изображенную на рис.84, которую мы будем
называть элементарной 
-областью. Снизу и сверху ограничена
кусочно-гладкими кривыми, имеющими соответственно уравнения
Рис. 84
С
боков ограничена
отрезками прямых параллельных оси ординат. Отметим, что эти отрезки могут
вырождаться в точку.
Граница
области состоит из четырех
частей:
.
Для
такой области имеют
равенства (пояснения ниже, ориентировано положительно)
Поясним
последнее равенство. Кривая 
имеет параметрические уравнения (с
параметром 
)
.
При
этом значению 
соответствует
точка 
, а
значению 
-
точка 
. Кривая
определяется
уравнениями
.
Значению
соответствует
точка 
и
значению -
точка 
. Наконец,
отрезок 
имеет
уравнения 
(с
параметром 
).
Вдоль этого отрезка 
, поэтому на самом деле
.
Аналогично
интеграл по отрезку 
равен нулю:
.
Итак,
мы определили, что
. (2)
Эта
формула распространяется на любую область, которую можно разрезать на конечное
число элементарных -областей. Такую область будем называть
просто -областью.
В
самом деле, пусть 
,
где 
-
элементарные -области
с границей 
,
которые будем считать ориентированными положительно (рис.85). Тогда (пояснения
ниже)
. (3)
Пояснения
требует третье равенство.
Здесь
важно отметить, что, если два контура 
, и 
имеют общий кусок , то он как часть и как часть ориентирован
противоположно, и потому криволинейные интегралы от 
по в обоих случаях отличаются
лишь знаком 
их
сумма равна нулю. Если учесть это, то сумма 
в цепи (3) сведется к сумме
криволинейных интегралов по кускам , принадлежащим к , равной интегралу по контуру
.
Рис. 85 Рис.86
По
аналогии можно ввести понятие элементарной 
-области. В этом случае ограничена слева и
справа кусочно-гладкими кривыми (рис. 86)
.
Сверху
и снизу ограничена
отрезками прямых параллельных оси .
Можно
также сказать, что элементарная -область определяется так же, как
элементарная -область,
только роль теперь
играет .
Для
элементарной -области
получаем
(пояснения ниже)
(4)
так как 
на отрезках 
и 
, то и
.
Формула
(4) также распространяется на любую область , которую можно разрезать на конечное
число элементарных -областей. Такую область будем называть
просто -областью.
Итак,
мы доказали предложение:
Теорема
1. Если область является
одновременно -
и -областью,
то для нее имеет место формула Грина.
Для
доказательства достаточно вычесть из равенства (4) равенство (3), которые
справедливы для области , обладающей указанными свойствами.
Примерами
областей, одновременно являющихся - и -областями, могут служить область
и эллипс
.
Более
того, эти области являются элементарными - и -областями.
Замечание
1. Можно доказать более общее утверждение. Если область ограничена произвольным
замкнутым кусочно-гладким самонепересекающимся контуром , то для нее верна формула
Грина (1).
Следствие.
Если плоская область односвязна и на ней задан непрерывно
дифференцируемый вектор
,
для которого
,
то 
имеет на потенциал (т. е.
имеет место в плоском случае теорема 3 § 3.4).
В
самом деле, зададим произвольный самонепересекающийся непрерывный
кусочно-гладкий контур 
, ориентированный положительно (рис.
87).
Он
служит границей некоторой области 
. Согласно теореме (формуле) Грина (см.
замечание 1)
,
Рис. 87
и так как - произвольный
замкнутый самонепересекающийся контур, то на основании теоремы 1 § 3.4 вектор имеет потенциал на .
Замечание
2. Так как двойной интеграл от единичной функции по области равен площади (мере) области
, то,
выбирая функции и
так,
чтобы 
, мы
получим различные выражения площади области через криволинейный интеграл:
.
В
частности, при 
получаем
. (5)
Пример.
Вычислить площадь, ограниченную эллипсом
.
Согласно
формуле (5) имеем
.
