186. Кратные корни.
Среди чисел 
входящих в разложение (3), могут быть, как мы уже упоминали, и одинаковые.
Соединяя в разложении (3) одинаковые сомножители в одну группу, можем написать его в виде:
где числа 
различны и
Если в написанном таким образом разложении имеется множитель 
то корень 
называют корнем кратности 
и вообще корень 
многочлена 
) называется корнем кратности 
если 
делится на 
и не делится на 
Укажем теперь другой признак кратности корня. Для этого введем в рассмотрение формулу Тейлора. Заметим прежде всего, что можем определить производные от многочлена 
по тем же формулам, какие имели место при вещественной переменной:
Формула Тейлора 
представляет собою элементарное алгебраическое тождество, содержащее буквы а и 
справедливое не только при вещественных, но и при комплексных значениях этих букв.
Выведем теперь условие того, чтобы 
было корнем 
кратности k. Перепишем (6) в виде:
Многочлен, стоящий во второй квадратной скобке, имеет степень ниже степени 
и отсюда видно [184], что первая квадратная скобка есть частное, а вторая — остаток при делении 
) на 
Для того чтобы 
делилось на 
необходимо и достаточно, чтобы этот остаток был равен тождественно нулю. Рассматривая его как многочлен относительно переменной (
), получаем следующее условие:
К этому условию мы должны еще добавить условие
ибо если бы и 
, то 
делился бы не только на 
но и на 
. Итак, условия (7) и (8) являются необходимыми и достаточными условиями того, чтобы 
было корнем кратности k многочлена 
Положим 
следовательно,
Если 
есть корень кратности k многочлена 
то, в силу (7) и (8):
т. е. z = а будет корнем кратности 
для 
или, что то же, для 
т. е. корень кратности k некоторого многочлена является корнем кратности 
для производной этого многочлена. Применяя последовательно это свойство, убедимся, что он будет корнем кратности (k — 2) для второй производной, корнем кратности (k — 3) для третьей производной и т. д. и, наконец, корнем первой кратности, или, как говорят, простым корнем для производной 
порядка.
Таким образом, если для 
имеет место разложение
то для 
будем иметь
где 
многочлен, не имеющий уже корней, общих с 
