167. Матрицы Якоби.

Пусть в бесконечномерном пространстве Н самосопряженный оператор А имеет простой непрерывный спектр. Ортогонализуя степени X по отношению к на промежутке получим в качестве замкнутой системы предыдущего параграфа систему вещественных полиномов степени к:

Старший коэффициент в каждом полиноме можно считать положительным. В прежних обозначениях мы нумеровали функции начиная с Теперь нумеруем начиная с , поскольку k обозначает степень Таким образом, заменяют При указанном выборе ортов элементы матрицы, соответствующей оператору А, определяются, согласно (51), формулами

Положим, что При этом произведение есть полином степени ниже это произведение выражается линейно через РДХ) при и, в силу (59), интеграл (60) при этом равен нулю. Совершенно гак же равен нулю и при ибо

при . Введем следующие обозначения:

Число входит и линейное представление произведения через

и из положительности старших коэффициентов у полиномов следует, что . Из (60) и сказанного выше следует:

и, таким образом, при выбранной системе ортов матрица преобразования имеет вид

причем . Вещественная, самосопряженная, удовлетворяющая условиям (63) матрица называется матрицей Якоби. Таким образом, при подходящем выборе ортов матрица самосопряженного оператора с простым непрерывным спектром есть матрица Якоби.

Пользуясь формулой (59) и обозначениями (61), нетрудно вычислить коэффициенты в разложении (62), умножая обе части на и интегрируя по k. При интеграл как мы видели выше, равен нулю, и, отсюда следует, что при При вычислениях остальных коэффициентов пользуемся обозначениями (61) и приходим к следующим соотношениям между полиномами

причем

Последнее равенство вытекает из того, что, как мы указывали выше, можно считать а первое принимается за определение

Можно, как и в предыдущем параграфе, исходить от непрерынной, неубывающей функции строить систему полиномов, ортогональных относительно , и элементы матрицы Якоби по формулам (60). В силу сказанного в [163], элементы матрицы (64) должны быть ограничены по абсолютной величине. Это легко получить и из (61). Предыдущие рассуждения приводят нас к следующему результату:

Теорема 4. Всякая самосопряженная матрица, соответствующая ограниченному оператору с простым непрерывным спектром, унитарно эквивалентна некоторой матрице Якоби вида (64) с ограниченными элементами и . Мы можем получить все такие матрицы по формуле (60), где - любой конечный промежуток, неубывающая, непрерывная на нем функция, подчиненная условию (последнее несущественно), и ортогональная нормированная относительно система полиномов.

Будем исходить из заданной матрицы Якоби, причем мы считаем, что в этой матрице элементы при отличны от нуля. Если мы от исходной системы ортов перейдем к новой, умножая каждый из ортов на выражение вида то при подходящем выборе получим, как нетрудно проверить, матрицу Якоби, унитарно эквивалентную заданной, такую, что элементы при положительны. Мы можем, таким образом, считать, что заданная матрица Якоби имеет вид (64), причем очевидно, вещественны и Принимая во внимание теорему 2 из [163] и одно из следствий теоремы 1, можем утверждать, что для того, чтобы матрица (64) осуществляла линейное ограниченное преобразование, необходимо и достаточно потребовать ограниченность чисел одним и тем же числом N, не зависящим от к:

Мы это будем предполагать в дальнейшем. Пусть

основная система ортов. Обозначая через А самосопряженный оператор, соответствующий матрице (64), можем написать

Если мы введем полиномы определяемые соотношениями (65) и (66), то, пользуясь последней формулой, можем выразить любой орт непосредственно через первый орт по формуле

Пусть спектральная функция оператора А, т. е. матрицы (64). Из формулы (70) непосредственно следует, что элементы образуют все Н. Действительно, в силу (70),

где а и b — границы оператора (64), т. е. является пределом линейных комбинаций элементов и всякий элемент разлагается по ортам Таким образом, матрице Якоби соответствует простой спектр (не обязательно непрерывный), и роль основного элемента может играть первый орт На основании (70) мы можем написать

и, вводя функцию

на основании этих равенств получим

откуда непосредственно следует, что полиномы , - образуют ортогональную нормированную систему относительно , и что элементы матрицы (64) выражаются через них по формулам (60). Если функция имеет разрывы, то всякому такому разрыву, как мы видели в предыдущем параграфе, соответствует собственное значение с рангом, равным единице. Отсюда видно, что функция не может сводиться к конечному числу скачков, и то же можно утверждать относительно . Наоборот, можно строить любые матрицы Якоби по формулам (60), выбирая за не обязательно непрерывную, но любую неубывающую функцию, которая только не сводится к конечному числу скачков.