Глава 12. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ; ПРЯМОЙ МЕТОД

Задача, которой мы посвятим настоящую и следующую главы, состоит в определении статистических свойств сигнала на выходе нелинейного устройства, например детектора или ограничителя. В этих главах мы будем рассматривать только такие нелинейные устройства, отклик которых в данный момент времени может быть выражен как функция воздействия в тот же момент времени. Иными словами, мы будем предполагать, что

где однозначная функция от х. Таким образом, мы исключим из рассмотрения нелинейные устройства, содержащие элементы, накапливающие энергию, ибо при наличии таких элементов отклик в данный момент обычно должен являться функцией не только воздействия в тот же момент, но и предыстории воздействия.

12.1. Общие замечания

Рассматриваемая теперь задача может быть сформулирована следующим образом: известны (однозначная) характеристика нелинейного устройства и статистические свойства воздействия; каковы статистические свойства отклика? В принципе задача сводится просто к преобразованию переменных, которое мы частично рассматривали в предыдущих главах. Так, например, из результатов § 3.6 следует, что если — множество точек в выборочном пространстве значений случайной величины на входе, соответствующее множеству точек в выборочном пространстве значений у случайной величины на выходе, то

и плотность распределения вероятностей случайней величины на выходе имеет вид

если производная существует. Из результатов § 3.6 следует также, что если плотность распределения вероятностей случайной величины на входе существует и непрерывна почти всюду и если характеристика задает взаимно однозначное соответствие значений х и у, то плотность распределения вероятностей случайной величины на выходе определяется равенством

Это выражение иногда оказывается неприменимым (например, если характеристика постоянна на некотором интервале изменения х, как это имеет место в однополупериодном детекторе); равенство же (12.3) справедливо всегда.

Далее, из результатов § 4.1 следует, что средние значения отклика всегда могут быть получены усреднением входного воздействия. Так, например,

Следовательно, момент порядка отклика равен

Аналогично, корреляционная функция отклика равна

где

Таким образом, задача определения статистических свойств отклика на выходе нелинейного устройства в принципе может быть решена применением различных результатов, полученных выше, для преобразований случайных величин. В настоящей главе мы применим эти результаты к изучению двух типов нелинейных устройств, представляющих практический интерес двухполупериодного квадратичного и однополупериодного линейного детекторов. Если, однако, попытаться применить метод, развиваемый в настоящей главе, к более сложным задачам, то возникают значительные аналитические трудности. В этих случаях может быть применен другой, обходный метод, использующий преобразование Фурье от характеристики. Метод преобразования будет рассмотрен в гл. 13.