ГЛАВА I. ЧИСЛА

§ 1. Натуральные числа

1. Запись натуральных чисел.

Числа 1, 2, 3, 4, 5, ... , использующиеся для счета предметов или для указания порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов, называются натуральными. Любое натуральное число в десятичной системе счисления записывается с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Например, запись 2457 означает, что 2 — цифра тысяч, 4 — цифра сотеи, 5 — цифра десятков и 7 — цифра единиц, т. е. .

Вообще если а — цифра тысяч, b — цифра сотен, с — цифра десятков и d — цифра единиц, то имеем . Используется также сокращенная запись (написать нельзя, так как такая запись в соответствии с принятым в математике соглашением означает произведение чисел а, b, с, d). Аналогично запись означает число

2. Арифметические действия над натуральными числами.

Результатом сложения или умножения двух натуральных чисел всегда является натуральное число: если — натуральные числа, то тоже натуральное число, тип — слагаемые, — сумма; тоже натуральное число, — множители, — произведение.

Справедливы следующие свойства сложения и умножения натуральных чисел:

1 . (переместительное свойство сложения).

2°. (сочетательное свойство сложения).

3°. (переместительное свойство умножения).

4°. (сочетательное свойство умножения).

5°. (распределительное свойство умножения относительно сложения).

В результате вычитания или деления натуральных чисел не всегда получается натуральное число: например, натуральное число, тогда как не натуральное число; натуральное число, тогда как не натуральное число.

Если m, n, k — натуральные числа, то при говорят, что — уменьшаемое, — вычитаемое, k — разность; при говорят, что m — делимое, — делитель, k — частное, число m называют также кратным числа , а число — делителем числа . Если — кратиое числа , то существует натуральное число k, такое, что

Из чисел с помощью знаков арифметических действий и скобок составляются числовые выражения. Если в числовом выражении выполнить указанные действия, соблюдая принятый порядок, то получится число, которое называется значением выражения.

Напомним порядок арифметических действий в числовом выражении: сначала выполняются действия в скобках; внутри любых скобок сначала выполняют умножение и деление, а потом сложение и вычитание. Например, если нужно найти значение выражения

то порядок действий таков: