96. Определение тригонометрических функций.

Для угла понятия а определены в курсе геометрии (см. часть II). В алгебре рассматривают повороты отрезка ОА около точки О на любой угол, при этом отрезок ОА называют начальным радиусом. Поворот на положительный угол осуществляется в направлении против часовой стрелки, поворот на отрицательный угол — по часовой стрелке. На рисунке 38 показаны повороты на углы 180°, 300°, —225°; начальный радиус ОА в результате поворота переходит в радиус ОВ. При повороте на 360° отрезок ОА возвращается в первоначальное положение.

Пусть а — произвольный угол. Возьмем отрезок ОА в координатной плоскости так, чтобы точка А принадлежала положительной полуоси х (рис. 39, а). Пусть при повороте

около точки 0 на угол а начальный радиус ОА переходит в радиус ОВ (рис. 39, б). Тогда синусом угла а называют отношение ординаты точки В к радиусу и обозначают ; косинусом угла а. называют отношение абсциссы точки В к радиусу и обозначают cos а; тангенсом угла а называют отношение ординаты точки В к ее абсциссе и обозначают ; котангенсом угла а называют отношение абсциссы точки В к ее ординате и обозначают ctg а.

Приведем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса некоторых углов:

Из определений следует, что не существует тангенс углов, косинус которых равен 0, и котангенс углов, синус которых равен О.

Можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе не только угла, но и чнсла, используя радианную меру угла:

Например,

Функции называют тригонометрическими функциями.

99. Знаки тригонометрических функций но четвертям.

Пусть при повороте около точки О на угол X начальный радиус ОА переходит в радиус ОВ. Из определений тригонометрических функций (см. п. 98) следует, что знак совпадает со

знаком ординаты точки В, а знак cos х совпадает со знаком абсциссы точки В. Знаки тригонометрических функций но четвертям указаны на рисунке 40.

100. Исследование тригонометрических функций на четность, нечетность.

Если при повороте около точки О на угол а начальный радиус ОА переходит в радиус ОВ, то при повороте на угол — а начальный радиус ОА перейдет в радиус симметричный ОВ относительно оси абсцисс (рис. 41). Абсциссы точек равны, а ординаты равны по модулю, но противоположны по знаку. Это значит, что

Таким образом, функции нечетные, а функция четная (см. п. 74).

101. Периодичность тригонометрических функций.

Если при повороте около точки О на угол начальный радиус ОА переходит в радиус ОВ, то при повороте на угол начальный радиус ОА также перейдет в радиус ОВ. Значит,

Более общими являются равенства

где k — любое целое число.

Если аргумент выражен в радианах, то

где k — любое целое число.

Для функций справедливы равенства

где k — любое целое число.

Таким образом, любое число вида является периодом функций а число вида як — периодом функций . При атом основной период основной период tg х, ctg х (см. п. 76).

Используя свойства четности, нечетности, периодичности, можно тригонометрическую функцию интересующего нас угла свести к тригонометрической функции угла, заключенного в пределах от до 180°.

Пример. Вычислить

Решение. Имеем Далее, но значит,

102. Свойства и график функции y = sin х.

1) Область определения — множество всех действительных чисел.

2) Область значений — отрезок

3) Функция периодическая; основной период равен (см. п. 101).

4) Функция нечетная (см. п. 100).

5) Функция возрастает на промежутках и убывает на промежутках

Взяв контрольные точки построим график функции на отрезке (рис. 43, а). Так как функция нечетная, то, выполнив симметрию построенного графика относительно начала координат, получим график функции на отрезке (рис. 43, б). Наконец, воспользовавшись периодичностью функции можно построить график на всей области определения (рис. 43, в).

103. Свойства и график функции у = cos х.

Исследование функции проводится аналогично исследованию функции Перечислим свойства функции

1) Область определения функции — множество всех действительных чисел.

2) Область значений — отрезок

3) Функция периодическая с основным периодом

4) Функция четная.

5) Функция убывает на промежутках и возрастает на промежутках

График функции изображен на рисунке 44.

104. Свойства и график функции y = tg х.

1) Область определения:

2) Область значений — вся числовая прямая.

3) основной период функции.

4) Функция нечетная.

5) Функция возрастает на промежутках

Выбрав несколько контрольных точек строим график функции на промежутке Воспользовавшись нечетностью функции построим график на интервале (рис. 45,6). Наконец, воспользовавшись периодичностью функции y=tgx, построим график на всей области определения (рис. 45, в).

105. Свойства и график функции y=ctgx.

1) Область определения функции:

2) Область значений функции — вся числовая прямая.

3) Функция периодическая с основным периодом .

4) Функция нечетная.

5) Функция убывает на промежутках График функции изображен на рисунке 46.

106. Функция у=arcsin х.

Функция возрастает на отрезке принимает на нем все свои значения от —1 до 1 (рис. 43). Значит, для функции , - существует обратная функция (см. п. 95). Эту функцию обозначают y = arcsin х (читается «арксинус x»). График функции может быть получен из графика функции помощью

преобразования симметрии последнего относительно прямой

Перечислим некоторые свойства функции

1) Область определения — отрезок

2) Область значений — отрезок

3) Функция нечетная:

4) Функция возрастающая

Из сказанного выше следует, что записи - эквивалентны. Подставив в равенство вместо у его выражение, т. е. получим . Следовательно, для любого из имеем:

Последние два соотношения позволяют истолковать , где — , так: — это число, взятое в пределах от до — и такое, что его синус равен .

Пример. Вычислить: a) ; б)

Решение, а) По определению такое число, что Отсюда следует, что Таким образом,

б) Рассуждая аналогично, получаем Но по свойству нечетности имеем следовательно,

107. Функция y = arccos x.

Функция убывает на отрезке , принимает на нем все значения от —1 до 1 (рис. 44). Значит, для функции рассматриваемой на отрезке существует обратная функция (см. п. 95). Она обозначается (читается «арккосинус).

График функции получается из графика функции с помощью преобразования симметрии относительно прямой

Перечислим некоторые свойства функции :

1) Область определения — отрезок

2) Область значений функции — отрезок .

3) Функция не является четной, ни нечетной.

4) Функция убывающая.

Из сказанного выше следует, что записи эквивалентны. Подставив в равенство вместо у выражение получим . Следовательно, для любого из промежутка имеем:

Последние два соотношения позволяют истолковать , где так: число, взятое в пределах от 0 до и такое, что его косинус равен .

Отметим, что имеет место следующее тождество:

В его справедливости можно убедиться с помощью графика функции

Пример. Вычислить: a) б)

Решение, а) По определению — это такое число у, что Отсюда следует, что Таким образом, б) По формуле (1) имеем Значит,

108. Функция y = arctg х.

Функция возрастает на интервале принимает на нем все свои значения (рис. 45). Поэтому на указанном интервале для функции существует обратная функция (см. п. 95). Она обозначается у=arctgх (читается «арктангенс x»).

График функции y=axctgx получается из графика функции помощью преобразования симметрии относительно прямой (рис. 50).

Перечислим некоторые свойства функции

1) Область определения — множество всех действительных чисел.

2) Область значений функции — интервал

Функция нечетная:

Функция возрастающая.

Из сказанного выше следует, что записи эквивалентны. Для любого имеем:

Последние соотношения позволяют истолковать так: число, взятое в пределах от до (исключая сами значения ) и такое, что его тангенс равен .

Пример. Вычислить: a) ; б)

Решение, а) По определению это такое число, что Отсюда следует, что Таким образом,

б) Рассуждая аналогично, получим Но Значит,

109. Функция y = arcctg x.

Функция на интервале , принимает на нем все свои знаения (рис. 46). Следовательно, на этом интервале для функции существует обратная функция (см. п. 95). Она обозначается (читается «арккотангенс х).

График функции получается из графика функции с помощью преобразования симметрии относительно прямой

Перечислим некоторые свойства функции

1) Область определения — множество всех действительных чисел.

2) Область значений функции — интервал .

3) Функция не является ни четной, ни нечетной.

4) Функция убывающая.

Из сказанного выше следует, что записи и эквивалентны. Для любого ихеем:

Последние соотношения позволяют истолковать так: число, взятое в пределах от (исключая сами значения и такое, что его котангенс равен .

Имеет место тождество

Пример. Вычислить

Решение. Сначала вычислим Это Ъакое число, что Значит,

По формуле (1) имеем Значит,