§ 22. Первообразная и интеграл

224. Первообразная.

Функция называется первообразной для функции на промежутке X, если для любого из X выполняется равенство

Примеры.

1. Пусть Тогда первообразная имеет вид , так как

2. Пусть Тогда первообразная имеет вид так как

Для функции в примере 1 мы нашли первообразную Это не единственное решение задачи. Так, в качестве первообразной можно было взять и функцию и функцию и вообще любую функцию вида .

Так же обстоит дело в примере 2, где в качестве первообразной можно было взять любую функцию вида Справедлива следующая теорема:

Если первообразная для функции на промежутке то у функции бесконечно много первообразных, все эти первообразные имеют вид где С — произвольная постоянная (основное свойств о первообразной).

Пример. Найта общин вид первообразных для функции где

Решение. Одной из первообразных будет функция так как Значит, общий вид первообразных:

225. Таблица первообразных.

Учитывая, что отыскание первообразной есть операция, обратная дифференцированию, и отталкимлсь от таблицы производных, (см. п. 210), получаем следующую таблицу первообразных (для простоты в таблице

приведена одна первообразная , а не общий вид первообразной

226. Правила вычисления первообразных.

Пусть нужно найти первообразную функции Иногда это можно сделать с помощью таблицы первообразных из п. 225; например, для функции по второй строке указанной таблицы находим а общий вид первообразных: . Но чаще, прежде чем воспользоваться таблицей, приходится применять правила вычисления первообразных.

1°. Если первообразная для первообразная для то первообразная для

Иными словами, первообразная суммы равна сумме первообразных.

2. Если первообразная для и k — постоянная, то первообразная для

Иными словами, постоянный множитель можно вынести за знак первообразной.

3°. Если первообразная для и k, b — постоянные, причем то первообразная для

Пример 1. Найти общий вид первообразных для функции

Решение.

1) Воспользовавшись таблицей первообразных (п. 225), найдем первообразную для каждой из четырех функций, входящих в состав

Для функции имеем

Для функции имеем

Для функции имеем

Для функции имеем

2) Воспользовавшись правилом 2°, получим, что для первообразной будет для первообразной будет для первообразной будет т. е. Для первообразной будет

3) Воспользовавшись правилом 1°, получим, что для первообразной будет следующая функция: 3

4) Общий вид первообразных для заданной функции:

Пример 2. Найти общий вид первообразных для функции

Решение. Для функции первообразной будет Тогда по правилу 3 для функции первообразной будет

Итак, а общий вид первообразных для заданной функции:

Пример 3. Найти общий вид первообразных для функции

Решение. Воспользуемся тем, что (см. п. 129). Тогда Для функции первосбразной будет а для функции в соответствии с правилом 3° первообразной будет . Тогда для функции по правилам 1° и 2° первообразной будет Общий вид первообразных: .

227. Интеграл.

Пусть функция непрерывна на отрезке Разобьем отрезок на частей точками для однородности обозначений положим Введем обозначения: и рассмотрим сумму

Она называется интегральной суммой для функции по отрезку

Наряду с интегральной суммой (1) рассматривают и интегральную сумму вида

Отличие суммы (1) от суммы (2) состоит в том, что в первом случае на каждом из отрезков выбирается значение функции в левом конце отрезка, а во втором случае — в правом.

На практике удобнее делить отрезок на равных частей. Тогда и сумма принимает вид Значение

суммы зависит только от числа и, поэтому эту сумму можно обозначить ( — греческая буква «сигма»).

Рассмотрим последовательность интегральных сумм . В математике установлено, что для непрерывной на отрезке функции эта последовательность сходится (см. п. 200). Ее предел называют интегралом функции от а до b и обозначают (читается: «Интеграл от а до от икс до икс»).

Итак, Числа а и b называют соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, знак знаком интеграла, функцию подынтегральной функцией.

Пример. Найти

Решение. Составим интегральную сумму для функции на отрезке [0; 1]. Для этого разобьем отрезок на равных частей точками

Имеем Интегральная сумма имеет вид:

В числителе содержится сумма первых членов арифметической прогрессии, у которой первый член равен 1, а равен . Тогда сумма вычисляется по формуле (см. п. 197).

В итоге получаем

Далее имеем . Значит,

228. Связь между интегралом и первообразной (формула Ньютона—Лейбница).

Если первообразная для на отрезке , то

(формула Ньютона—Лейбница). На практике в формуле (1) удобно вместо писать .

Пример 1. Вычислить

Решение. Для функции первообразной является . Значит

Пример 2. Вычислить

Решение. Для функции и первообразной является Значит,

229. Правила вычисления интегралов.

1°. Интеграл суммы равен сумме интегралов,

2°. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла

Пример 1. Вычислить

Решение. Воспользовавшись правилами 1° и 2°, получим:

Пример 2. Вычислить

Решение. Представим подынтегральную функцию в виде суммы функций, первообразные от которых можно найти по таблице (см. п. 225).

Имеем;

Значит,

230. Использование интеграла для вычисления площадей плоских фигур.

Рассмотрим плоскую фигуру Ф, представляющую собой множество точек координатной плоскости лежащее в полосе между прямыми имеющее в своем составе точки с абсциссами и ограниченное сверху и снизу графиками непрерывных на функций

таких, что для всех из справедливо неравенство Примеры таких фигур представлены на рисунках 123—127. В частности, фигура, изображенная на рисунке 124, а, ограничена сверху графиком функции , а снизу — прямой . Такая фигура называется криволинейной трапецией.

Площадь S фигуры Ф вычисляется по формуле

В частности, для криволинейной трапеции, изображенной на рисунке 124, а, получаем:

а для криволинейной трапеции, изображенной на рисунке 124, б, получаем:

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

Решение. Фигура, площадь которой надо иайти, изображена на рисунке 125. Воспользовавшись формулой (2), получим:

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

Решение. Фигура, площадь которой надо найти, изображена на рисунке 120. По формуле (1) получим:

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

Решение. Построив прямую и параболу (см. п. 114), получим фигуру, площадь которой требуется вычислить (рис. 127). Значит, где , а пределы интегрирования а и суть абсциссы точек пересечения параболы и прямой. Для отыскания этих абсцисс решим уравнение откуда

Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

Решение. Фигура, площадь которой требуется найти, изображена на рисунке 128 (см. п. 158). Проведем прямую . Тогда площадь S интересующей нас фигуры равна сумме , где площадь фигуры, заштрихованной на рисунке 128 горизонтальной штриховкой, площадь фигуры, заштрихованной на рисунке 128 вертикальной штриховкой.

Имеем

Значит, .

Геометрия (содержание)

Геометрия (содержание)