ГЛАВА IV. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ

§ 12. Преобразование выражений, содержащих переменную под знаком логарифма

118. Понятие трансцендентного выражения.

Трансцендентным называется выражение, содержащее переменные под знаком трансцендентной функции, т. е. под знаком показательной, логарифмической, тригонометрических или обратных тригонометрических функций. Примеры трансцендентных выражений: .

119. Определение логарифма положительного числа по данному основанию.

Логарифмом положительного числа х по основанию называется показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число х:

Равенство означает, что

Например, так как так как

Из определения логарифма вытекают следующие важные равенства:

Первое следует из того, что а второе — из того, что

Вообще имеет место равенство

В записи число а — основание логарифма, логарифмируемое число.

120. Свойства логарифмов.

1°. Если

(логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей).

Например, Если то

(логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя).

Например,

Если то написать

нельзя, так как правая часть такого «равенства» не имеет смысла (логарифм отрицательного числа не существует). Здесь можно рассуждать отрицательные числа, следовательно, . Но тогда . Значит,

Так как , то, применив свойство 1°, получим .

Итак, если то

и аналогично (нетрудно заметить, что оба последних равенства справедливы и в случае, когда ).

3°. Если

(логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени).

Пример 1. .

Пример 2. .

Пример 3. Вычислить если .

Решение. Имеем:

Справедливо следующее утверждение: если k — четное число, то для любого

Например:

121. Переход к новому основанию логарифма.

Справедливы следующие два свойства, позволяющие перейти к новому основанию логарифма:

1°. Если

(формула перехода к новому основанию).

Например:

2°. Если

Например,

Пример 1. Вычислить если . Решение. Перейдем в к основанию 2. Воспользовавшись свойством 1°, получим:

Пример 2. Вычислить

Решение. Согласно свойству 2° можно основание логарифма и логарифмируемое число возвести в одну и ту же степень, при этом числовое значение выражения не изменится. Имеем:

122. Логарифмирование и потенцирование. Если некоторое выражение А составлено из положительных чисел с помощью операций умножения, деления и возведения в степень, то, используя свойства логарифмов, можно выразить через логарифмы входящих в выражение А чисел. Такое преобразование называется логарифмированием.

Пример 1. Прологарифмировать по основанию 5 выражение , где — положительные числа.

Решение. Используя свойства логарифмов (см. п. 120), получим

Часто приходится решать обратную задачу: находить выражение по его логарифму. Такое преобразование называется потенцированием.

Пример 2. Найти если

Решение.

Из равенства находим, что

123. Десятичный логарифм. Характеристика и мантисса десятичного логарифма.

Если основание логарифма равно 10, то логарифм называется десятичным. Вместо записи принята запись На рисунке 67 изображены графики функций .

В частности, для десятичных логарифмов справедливы равенства:

Пусть положительное число а представлено в стандартном виде (см. п. 34) , где (n - порядок числа ). Прологарифмируем число по основанию 10, воспользовавшись свойствами логарифма (см. п. 120).

Имеем Итак,

Поскольку Поэтому из равенства (1) следует, что есть наибольшее целое число, не превосходящее число а, иначе есть целая часть числа (см. п. 31). Слагаемое есть дробная часть числа

(см. п. 31). Целая часть числа а, т. е. порядок числа в, называется характеристикой , а дробная часть числа а — его мантиссой.

Имеет место следующее утверждение: если число умножить на 10, где h — целое число, то мантисса логарифма не изменится, иными словами, имеют одинаковые мантиссы.

В самом деле, инеем:

Мантиссой числа является т. e. то же число, которое служит мантиссой для