§ 18. Доказательство неравенств

189. Метод оценки знака разности.

Суть этого метода заключается в следующем: для того чтобы установить справедливость неравенства составляют разность и доказывают, что она положительна (соответственно отрицательна, неотрицательна, неположительна).

Пример. Доказать, что если , то (среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического; это неравенство называется неравенством Коши).

Решение. Составим разность . Имеем

Неравенство верно при любых неотрицательных значениях х и у. Значит, причем равенство имеет место лишь в случае

Из неравенства Коши, в частности, следует неравенство справедливое для всех х > 0.

190. Синтетический метод доказательства неравенств.

Суть этого метода заключается в следующем: с помощью ряда преобразований выводят требуемое неравенство из некоторых известных (опорных) неравенств. Опорными неравенствами являются, например, такие:

Пример. Доказать, что где — неотрицательные числа.

Решение. Используем здесь в качестве опорного неравенство Коши, составленное для неотрицательных чисел

Имеем Применив теперь неравенство Коши к числам , а также , получим

Таким образом,

Равенство имеет место в случае, когда

191. Доказательство неравенств методом от противного.

Суть этого метода заключается в следующем. Пусть нужно доказать истинность неравенства

Предполагают противное, т. е. что хотя бы для одного набора переменных справедливо неравенство

Используя свойства неравенств, выполняют преобразования неравенства (2). Если в результате этих преобразований получается ложное неравенство, то это означает, что предположение о справедливости неравенства (2) неверно, а потому верно неравенство (1)

Пример 1. Доказать, что если , то

Решение. Предположим противное, т. е. что для некоторого набора значений а, b, с, d справедливо неравенство

Возведем обе его части в квадрат. Получим:

откуда и далее Но это противоречит неравенству Коши, составленному для неотрицательных чисел

Значит, наше предположение неверно, т. е. для любых неотрицательных значений а, b, с, d справедливо неравенство

Пример 2. Доказать неравенство а.

Решение. Предположим противное, т. е. предположим, что существуют такие для которых выполняется неравенство а.

Воспользовавшись формулами (см п. 131) и (см. п. 129), получим откуда Поскольку на самом деле при любых значениях , то мы получили противоречие. Значит, наше предположение неверно, а поэтому справедливо неравенство а.

192. Использование неравенств при решении уравнений.

Пусть нужно решить уравнение . И пусть существует такое число А, которое является одновременно наибольшим значением функции и наименьшим значением функции Тогда корнями уравнения являются общие корни уравнений и только . Этот метод является частным случаем функционального метода решения уравнений (см. п. 158).

Пример. Решить уравнение

Решение. С одной стороны, при всех (см. п. 189). С другой стороны, при всех выполняется неравенство Значит, корнями данного уравнения будут общие корни уравнений конечно, такие общие корни есть; если их нет, то уравнение не имеет корней).

Из уравнения находим Из уравнения находим

Общим корнем этих уравнений является значение оно и является единственным корнем заданного уравнения.