§ 3. Геометрические построения на плоскости

21. Чертежные инструменты.

В геометрии постоянно приходится решать задачи на построение геометрических фигур с помощью чертежных инструментов.

В некоторых случаях в задаче сказано, какие чертежные инструменты можно применять при построении. В случаях, когда это не оговорено, можно самим выбирать нужные для построения инструменты.

В школьном курсе геометрии мы пользуемся такими чертежными инструментами, как линейка (односторонняя), циркуль, угольник, транспортир.

Существуют различные типы задач на построение в зависимости от набора инструментов: построения циркулем и линейкой; построения только одним циркулем (построения Мора-Маскерони); построения только одной линейкой, если на плоскости начерчена окружность и ее центр (построения Штейнера); с помощью угольника; с помощью транспортира и т. д.

С помощью линейки можно начертить (в виде отрезка) изображение: а) произвольной прямой; б) прямой, проходящей через данную точку; в) прямой, проходящей через две данные точки. С помощью линейки нельзя откладывать отрезки, даже если на ней имеются деления, нельзя пользоваться обоими краями линейки.

С помощью циркуля можно: а) построить окружность данного радиуса с центром в данной точке; б) отложить данный отрезок на данной прямой от данной точки.

С помощью угольника можно выполнить те же построения, что и линейкой; кроме того, можно совместить одну из сторон угольника с данной прямой и провести прямую по другой

стороне угла. С помощью угольника можно также построить прямой угол. В п. 11 (рис. 26) рассказано, как с помощью угольника и линейки можно построить параллельные прямые.

С помощью транспортира можно построить точку на луче» образующем некоторый данный угол с данной прямой с вершиной в данной точке. На рисунке 16 (п. 8) показано, как с помощью транспортира можно отложить от полупрямой в верхнюю полуплоскость угол с заданной градусной мерой.

В геометрии, как правило, точными считаются построения, выполняемые с помощью циркуля и линейки.

Есть задачи на построение, про которые известно, что они не разрешимы с помощью циркуля и линейки.

1) Задача о трисекции угла. Дан угол а. Построить угол - .

2) Задача об удвоении куба. Дан куб (т. е. дан отрезок, равный ребру куба). Построить другой куб (т. е. построить ребро такого куба), объем которого вдвое больше объема данного куба.

3) Задача о квадратуре круга. Дан круг. Построить квадрат, равновеликий этому кругу.

Доказательство неразрешимости этих задач требует глубоких математических знаний. Глава «Декартовы координаты на плоскости» познакомит вас с аналитическим методом решения геометрических задач, когда задача переводится на язык формул. Доказано, что если геометрическая фигура, которую мы хотим построить, может быть выражена формулой, содержащей только рациональные функции и действие извлечения квадратного корня, то тогда этот объект можно построить с помощью циркуля и линейки.

22. Простейшие задачи на построение.

Во всех рассматриваемых здесь задачах можно пользоваться только двумя чертежными инструментами — линейкой и циркулем.

В школьном курсе геометрии при решении задач на построение прежде всего нужно знать, как выполнить построение, а уже потом его выполнять. Кроме этого, важно уметь доказать, что предложенное построение привело к построению фигуры с требуемыми свойствами.

Рассмотрим простейшие задачи на построение.

Задача 1. Построить треугольник с данными сторонами а, b и с.

На рисунке 64 построение выполнено так: с помощью линейки провели прямую и с помощью циркуля — три окружности: радиусами с центром в точке В, радиусом СА = b с центром в точке С.

Эта задача не всегда может иметь решение. Для сторон а, b, с треугольника должны выполняться условия:

Задача 2. Построить угол, равный данному.

На основании аксиомы (см. п. 8) от данной полупрямой в данную полуплоскость можно отложить угол, равный данному углу. Как это сделать с помощью циркуля и линейки?

На рисунке 65 построение выполнено так: данный угол, данная полупрямая. Провели две окружности с центрами А и О одинакового произвольного радиуса и окружность с центром радиуса ВС. Очевидно, по третьему признаку равенства треугольников откуда .

Задача 3. Построить биссектрису данного угла.

На рисунке 66 построение биссектрисы AD данного угла ВАС выполнено так: построили три окружности с центрами в точках А, В и С одного произвольного радиуса. Точку пересечения окружностей с центрами в точках В и С — точку D соединим с точкой А. Полупрямая AD — биссектриса угла ВАС. Доказательство этого факта основано на равенстве треугольников ABD и ACD по третьему признаку равенства треугольников

Задача 4. Разделить отрезок пополам.

На рисунке 67 построение середины отрезка АВ выполнено так: строим две окружности с центрами в точках А и В радиусом АВ. Точки С и С, лежат в разных полуплоскостях, поэтому отрезок СС, пересекает АВ в точке О — середине отрезка АВ.

Доказательство основано на рассмотрении равных треугольников: .

Задача 5. Через данную точку О провести прямую, перпендикулярную данной прямой а.

Возможны два случая:

1) Точка О принадлежит прямой а. Построение изображено на рисунке 68. Строим три окружности: с центром в точке О произвольного радиуса (она пересекает прямую а в точках А и В), с центрами в точках А и В радиусом АВ. Точку пересечения двух последних окружностей — точку С соединим с точкой О. Прямая ОС искомая.

Перпендикулярность прямых следует из равенства треугольников АСО и ВСО (Т. 1. 17).

2) Точка О не принадлежит прямой а. Построение, изображенное на рисунке 69, выполнено так: построили три окружности: с центром в точке О произвольного радиуса, А и В — точки пересечения этой окружности с прямой а; с центрами в точках А и В тем же радиусом, — точка их пересечения, лежащая в полуплоскости, в которой не лежит точка О. Прямая — искомый перпендикуляр.

Доказательство проводим так:

смежные, а так как они равны, то они прямые. Значит, ОС — перпендикуляр, опущенный из точки О на прямую а.

Рассмотренные задачи применяются при решении более сложных задач на построение.

Пример. Построить окружность данного радиуса R, касающуюся данной прямой а и проходящую через данную точку М, не лежащую на этой прямой.

Решение. Предположим, что задача решена и построена окружность с центром О данного радиуса R, касающаяся прямой а и проходящая через точку М (рис. 70). Ее центр лежит на прямой , находящейся от а на расстоянии R, а точка О есть точка пересечения окружности того же радиуса с центром в точке М и прямой b.

Построение выполняем в такой последовательности:

1) Проводим прямую b, параллельную а и находящуюся от а на расстоянии

2) Проводим окружность с центром в точке М радиусом

Точка пересечения О прямой b и проведенной окружности — центр искомой окружности. Доказательство очевидно: построенная окружность касается прямой с, имеет радиус R и проходит через точку М. Задача может иметь два, одно решение или не иметь решений. (Рассмотрите различные случаи сами. На рисунке 70 приведены два решения.)

23. Геометрическое место точек на плоскости.

Геометрическим местом точек на плоскости называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определенным свойством.

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки.

На рисунке 71 к отрезку А В проведен серединный перпендикуляр ССХ. Т. 1. 29 утверждает, что: а) каждая точка прямой ССХ равноудалена от - А и В; б) каждая точка плоскости, равноудаленная от - А и В, лежит на прямой ССХ.

Ниже перечислены несколько геометрических мест точек на плоскости.

1. Геометрическое место точек, находящихся на данном расстоянии от данной точки, есть окружность с центром в этой точке и радиусом, равным данному расстоянию.

2. Геометрическое место точек, находящихся на данном расстоянии от данной прямой, состоит из двух прямых, каждая из которых параллельна данной и отстоит от нее на данное расстояние.

3. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, состоит из двух прямых, на которых лежат биссектрисы всех углов, полученных при пересечении данных прямых.

4. Геометрическое место точек, из которых отрезок АВ виден под данным углом а и которые лежат по одну сторону от прямой А В, есть дуга окружности с концами в точках А и В.

Метод геометрических мест, применяемый при решении задач на построение, основан на следующем.

Пусть нам надо построить точку удовлетворяющую двум условиям. Геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию, есть фигура а геометрическое место точек, удовлетворяющих второму условию, есть фигура Искомая точка X принадлежит т. е. является их общей точкой.

Пример 1. Построить AABC по периметру , углу В, равному 0, и высоте h, опущенной из вершины А.

Решение. Пусть задача решена и AABC построен (рис. 72). Отложив на прямой ВС отрезки и , получим равнобедренные треугольники ABD и АСЕ.

Исходя из приведенных выше рассуждений построение можно осуществить в следующей последовательности:

1) Проводим прямую и на ней откладываем отрезок

2) На расстоянии h от прямой DE проводим прямую l, параллельную DE.

3) С вершиной в точке D строим угол ADE, равный Точка

А — одна из вершин искомого треугольника.

4) Проводим серединные перпендикуляры к отрезкам AD и АЕ. Точки В и С пересечения этих серединных перпендикуляров с прямой DE — две другие вершины искомого треугольника.

Доказательство того, что AABC искомый, проводим так: высота этого треугольника равна h по построению, равнобедренный, внешний угол этого треугольника, по построению.

Пример 2. Построить окружность, касающуюся сторон данного угла, причем одной них в данной точке К.

Решение. Пусть задача решена и окружность с центром О искомая. Центр окружности — точка О принадлежит, с одной стороны, биссектрисе ВО данного угла, а с другой — перпендикуляру КО, проведенному к прямой ВС в данной точке К (рис. 73).

Порядок построения таков:

1) Проводим биссектрису ВО данного угла

2) Из точки К к стороне ВС угла ABC проводим перпендикуляр L.

3) Из точки О пересечения KL и ВО как из центра проводим радиусом, равным ОК, окружность.

Построенная окружность искомая.