Главная > Математика: Справ. материалы
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 18. Уравнения фигур в пространстве

1. Уравнение плоскости.

Уравнение фигуры в пространстве определяется так же, как и на плоскости.

Пусть точка плоскости вектор, перпендикулярный этой плоскости (рис. 200). Пусть — произвольная точка плоскости т. е. , тогда Координаты точки А удовлетворяют уравнению

Верно и то, что если точка удовлетворяет уравнению (1), то точка А лежит в плоскости а. Таким образом, уравнение (1) есть уравнение плоскости а.

Уравнение плоскости можно записать в виде

Коэффициенты a, b, с в этом уравнении являются координатами вектора, перпендикулярного этой плоскости,

72. Уравнение сферы.

Пусть центр сферы находится в точке , а радиус сферы равен R. Точками сферы являются те и только те точки пространства, расстояние от которых до точки А равно R. Квадрат расстояний от любой точки сферы до точки А равен . Поэтому уравнение сферы с центром и радиусом R имеет вид:

Сфера с центром (2; - 1; 8) и радиусом 5 задается уравнением

Если центром сферы является начало координат, то уравнение сферы с радиусом R таково:

Шар задается не уравнением, а неравенством. Рассмотрим шар с центром и радиусом R. По определению шара ему принадлежат все такие точки М, для которых т. е. Учитывая, что , получим:

Если центр шара находится в начале координат, то неравенство таково:

Аналогично круг радиуса в прямоугольных координатах на плоскости с центром или в начале координат задается неравенством

Пример. Запишите уравнение сферы, проходящей через точки , если радиус ее равен 3.

Решение. Уравнение сферы с центром и радиусом 3 имеет вид Ему должны удовлетворять координаты точек А, В и С. Числа а, b и с отыскиваются из системы трех уравнений, получающихся при подстановке в уравнение сферы координат трех данных точек:

Почленно вычитая первое уравнение из второго и третьего, получаем откуда Значение с отыскивается подстановкой найденных значений а и b в первое уравнение:

Таким образом, существуют две сферы, удовлетворяющие условию задачи, их центры уравнения таковы:

73. Взаимное расположение сферы и плоскости.

Пусть дана сфера радиуса R, а расстояние от ее центра С до плоскости а равно d. Введем систему координат так, как покавано на рисунке 201: плоскость совпадает с плоскостью , а центр С сферы лежит на оси . В этой системе координат точка С имеет координаты поэтому уравнение сферы таково: Плоскость совпадает с координатной плоскостью , поэтому ее уравнение

Если координаты какой-нибудь точки удовлетворяют обоим уравнениям, то точка М лежит как в плоскости а, так и на сфере, т. е. является общей точкой плоскости и сферы. Если же система этих двух уравнений не имеет решений, то сфера и плоскость не имеют общих точек. Таким образом, вопрос о взаимном расположении сферы и плоскости сводится к исследованию системы уравнений:

Возможны три случая:

1. dокружности.="" Вывод:="" если="" расстояние="" от="" центра="" сферы="" до="" плоскости="" меньше="" радиуса="" сферы,="" то="" сечение="" плоскостью="" есть="" окружность="" (рис.="" 201,="" а).="" 2. . Система имеет единственное решение. Вывод: если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют единственную общую точку — точку касания (рис. 201, б).

3. d> R. Система не имеет решении. Вывод: если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы» то сфера и плоскость не имеют общих точек (рис. 201, в).

74. Пересечение двух сфер.

Для отыскания условия пересечения двух сфер примем прямую, соединяющую их центры, за ось . Пусть точка центр первой сферы, ее радиус. Точка В (b; 0; 0) — центр второй сферы, а ее радиус. Уравнениями сфер будут

Решая эту систему, можно прийти к выводу:

Линия пересечения двух сфер есть окружность.

Пример. Радиусы шаров равны 25 и 29 дм, а расстояние между их центрами Найти длину линии, по которой пересекаются их поверхности.

Решение. Рассмотрим на плоскости отрезок длиной 36 дм и две окружности с центрами в точках радиусами 29 дм. Если А — одна из точек пересечения этих окружностей (рис. 202), то радиус окружности пересечения данных в условии задачи сфер (поверхностей данных шаров) равен высоте АН треугольника и его можно найти, предварительно вычислив площадь по формуле Герона

С другой стороны, откуда

Длина окружности пересечения сфер равна

1
Оглавление
email@scask.ru