§ 18. Уравнения фигур в пространстве

1. Уравнение плоскости.

Уравнение фигуры в пространстве определяется так же, как и на плоскости.

Пусть точка плоскости — вектор, перпендикулярный этой плоскости (рис. 200). Пусть — произвольная точка плоскости т. е. , тогда Координаты точки А удовлетворяют уравнению

Верно и то, что если точка удовлетворяет уравнению (1), то точка А лежит в плоскости а. Таким образом, уравнение (1) есть уравнение плоскости а.

Уравнение плоскости можно записать в виде

Коэффициенты a, b, с в этом уравнении являются координатами вектора, перпендикулярного этой плоскости,

72. Уравнение сферы.

Пусть центр сферы находится в точке , а радиус сферы равен R. Точками сферы являются те и только те точки пространства, расстояние от которых до точки А равно R. Квадрат расстояний от любой точки сферы до точки А равен . Поэтому уравнение сферы с центром и радиусом R имеет вид:

Сфера с центром (2; - 1; 8) и радиусом 5 задается уравнением

Если центром сферы является начало координат, то уравнение сферы с радиусом R таково:

Шар задается не уравнением, а неравенством. Рассмотрим шар с центром и радиусом R. По определению шара ему принадлежат все такие точки М, для которых т. е. Учитывая, что , получим:

Если центр шара находится в начале координат, то неравенство таково:

Аналогично круг радиуса в прямоугольных координатах на плоскости с центром или в начале координат задается неравенством

Пример. Запишите уравнение сферы, проходящей через точки , если радиус ее равен 3.

Решение. Уравнение сферы с центром и радиусом 3 имеет вид Ему должны удовлетворять координаты точек А, В и С. Числа а, b и с отыскиваются из системы трех уравнений, получающихся при подстановке в уравнение сферы координат трех данных точек:

Почленно вычитая первое уравнение из второго и третьего, получаем откуда Значение с отыскивается подстановкой найденных значений а и b в первое уравнение:

Таким образом, существуют две сферы, удовлетворяющие условию задачи, их центры уравнения таковы:

73. Взаимное расположение сферы и плоскости.

Пусть дана сфера радиуса R, а расстояние от ее центра С до плоскости а равно d. Введем систему координат так, как покавано на рисунке 201: плоскость совпадает с плоскостью , а центр С сферы лежит на оси . В этой системе координат точка С имеет координаты поэтому уравнение сферы таково: Плоскость совпадает с координатной плоскостью , поэтому ее уравнение

Если координаты какой-нибудь точки удовлетворяют обоим уравнениям, то точка М лежит как в плоскости а, так и на сфере, т. е. является общей точкой плоскости и сферы. Если же система этих двух уравнений не имеет решений, то сфера и плоскость не имеют общих точек. Таким образом, вопрос о взаимном расположении сферы и плоскости сводится к исследованию системы уравнений:

Возможны три случая:

1. d2. . Система имеет единственное решение. Вывод: если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют единственную общую точку — точку касания (рис. 201, б).

3. d> R. Система не имеет решении. Вывод: если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы» то сфера и плоскость не имеют общих точек (рис. 201, в).

74. Пересечение двух сфер.

Для отыскания условия пересечения двух сфер примем прямую, соединяющую их центры, за ось . Пусть точка центр первой сферы, ее радиус. Точка В (b; 0; 0) — центр второй сферы, а ее радиус. Уравнениями сфер будут

Решая эту систему, можно прийти к выводу:

Линия пересечения двух сфер есть окружность.

Пример. Радиусы шаров равны 25 и 29 дм, а расстояние между их центрами Найти длину линии, по которой пересекаются их поверхности.

Решение. Рассмотрим на плоскости отрезок длиной 36 дм и две окружности с центрами в точках радиусами 29 дм. Если А — одна из точек пересечения этих окружностей (рис. 202), то радиус окружности пересечения данных в условии задачи сфер (поверхностей данных шаров) равен высоте АН треугольника и его можно найти, предварительно вычислив площадь по формуле Герона

С другой стороны, откуда

Длина окружности пересечения сфер равна