Глава III. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

§ 9. Свойства функций

69. Определение функция.

Зависимость переменной у от переменной называется функцией, если каждому значению соответствует единственное значение у. Переменную называют независимой переменной или аргументом, а переменную у зависимой переменной. Значение у, соответствующее заданному значению называют значением функции.

Записывают: (читается: Эф от икс»). Буквой обозначается данная функция, т. е. функциональная зависимость между переменными есть значение функции, соответствующее значению аргумента Говорят также, что есть значение функции в точке х.

Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции.

Все значения, которые принимает функция принадлежащих области ее определения), образуют область значений функции.

Рассмотрим функцию где Эта запись означает, что задана следующая функция: каждому числу из отрезка [1, 3] ставится в соответствие квадрат этого числа. Например, и т. д. Запись в этом случае лишена смысла, так как число 4 не принадлежит отрезку [1, 3]. Отрезок [1, 3] — область определения функции.

70. Аналитическое задание функции.

Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы где некоторое выражение с переменной в таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

Пример где Область определения этой функции — луч Чтобы найти значение функции в любой точке достаточно найти числовое значение выражения в выбранной точке. Функция задана аналитически.

Для аналитически заданной функции иногда не указывают явно область определения функции. В таком случае подразумевают, что область определения функции совпадает с областью определения выражения т. е. с множеством тех значений при которых выражение имеет

Пример 2. Функция задана аналитически формулой Найти:

Решение, а) Чтобы найти надо в всюду вместо подставить . Получим:

Итак,

Пример 3. Найти область определения функции .

Решение, Выражение определено при всех кроме того значения» которое обращает знаменатель в это значение Значит, область определения функции состоит из всех чисел, кроме

Пример 4. Найти область определения функции

Решение. Выражение определено при тех при которых , т. е. при . Значит, область определения функции — луч

Иногда функция задается на различных промежутках различными формулами, например:

Эта функция определена на отрезке . Для вычисления значений функции нужно лишь точио определить, какой формулой следует воспользоваться для заданного конкретного значения аргумента. Например, если нужно вычислить

воспользуемся равенством и получим Если же нужно вычислить то воспользуемся равенством получим

71. Табличное задание функции.

На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов, таблица квадратных корней.

Во многих случаях табличное задание функции оказывается удобным. Оно позволяет найти значения функции для значений аргумента, имеющихся в таблице, без всяких вычислений. На практике часто зависимость одной величины от другой находят опытным путем. В этом случае одной величине придают определенные значения, а потом из опыта для каждого из таких значений находят значение (обычно приближенное) второй величины. Таким образом опыт позволяет составить некоторую таблицу значений функции. Существуют методы, позволяющие по такой таблице подбирать формулы, задающие функции (с определенной точностью).

72. Числовая плоскость. Координатная плоскость, оси координат.

Множество всех пар действительных чисел называется числовой плоскостью.

Как для множества всех действительных чисел (или числовой прямой) есть геометрическая модель — координатная прямая так и для множества всех пар действительных чисел (числовой плоскости) есть геометрическая модель — координатная плоскость. Координатная плоскость определяется двумя взаимно перпендикулярными координатными прямыми с общим началом О и одинаковым масштабом (рис. 7). Точка О называется началом координат. Горизонтальная прямая называется осью абсцисс или осью вертикальная — осью ординат или осью у.

Если отметить на координатной плоскости все точки с абсциссой то получится прямая, параллельная оси у (рис. 7); говорят, что уравнение этой прямой. Если отметить на координатной плоскости все точки с ординатой то получится прямая, параллельная оси х (рис. 7); говорят, что уравнение этой прямой.

73. График функции, заданной аналитически.

Пусть функция задана аналитически формулой Если на

координатной плоскости отметить все точки, обладающие следующим свойством: абсцисса точки принадлежит области определения функции, а ордината равна соответствующему значению функции, то множество точек есть график функции.

Например, графиком функции является множество точек вида , т. е. точек, имеющих одинаковые координаты. Это множество точек есть биссектриса I и III координатных углов (рис. 8).

На практике для построения графика функции составляют таблицу значений функции при некоторых значениях аргумента, наносят на плоскость соответствующие точки и соединяют полученные точки линией. При предполагают, что график функции является плавной линией, а найденные точки достаточно точно показывают ход изменения функции.

Пример. Построить график функции

Решение. Составим таблицу некоторых значений функции:

Нанесем найденные точки ; на координатную плоскость (рис. 9, а). Соединив эти точки плавной линией, получим график (а точнее, эскиз графика) функции . Эта линия называется параболой. Вообще параболой

является график любой функции вида , где (см. п. 111).

74. Четные и нечетные функции.

Функция называется четной, если для любого X из области определения функции выполняется равенство

Функция называется нечетной, если для любого из области определения функции выполняется равенство

Например, четные функции, а нечетные функции.

Если функция такова, что хотя бы для одной пары значений оказалось, что и хотя бы для одной пары значений оказалось, что то функция не является ни четной, ни нечетной.

Из определения следует, что область определения X как четной, так и нечетной функции должна обладать следующим свойством: если то и (т. е. X — симметричное относительно О множество).

Пример. Исследовать на четность функции: а) .

Решение. а) Имеем Значит для всех х. Функция является четной.

б) Имеем Значит, для всех X. Функция является нечетной.

в) Имеем . Так как то функция не является четной, ни нечетной.

75. График четной функции. График нечетной функции.

Графики четной и нечетной функций обладают следующими особенностями:

Если функция является четной, то ее график симметричен относительно оси ординат.

Если функция является нечетной, то ее график симметричен относительно начала координат.

Пример 1. Построить график функции .

Решение. Имеем Значит, функция четна, а потому график ее симметричен относительно оси ординат.

Если то т. е. при имеем Графиком функции при служит биссектриса первого координатного угла. Подвергнув ее преобразованию симметрии относительно оси у, получим график функции

Пример 2. Построить график функции

Решение. Имеем Значит, функция нечетна, а потому график ее симметричен относительно начала координат.

Если то . Значит, при имеем Графиком будет ветвь параболы. Она изображена на рисунке 11, а. Подвергнув ее преобразованию симметрии относительно начала координат, получим график функции

76. Периодические функции.

Функция называется периодической, если существует такое отличное от нуля число Т, что для любого из области определения функции справедливо равенство

Число Т называется периодом функции y=f(x).

Из этого определения сразу следует, что если Т — период функции , то периоды функции. Значит, у периодической функции бесконечно много периодов. Если, например, Т — период функции, то и число вида , где k — любое целре число, также является периодом функции.

Чаще всего (но не всегда) множества положительных периодов функции можно найти наименьший. Его называют основным периодом.

Графики периодических функций обладают следующей особенностью. Если Т — основной период функции то для построения ее графика достаточно построить ветвь графика на одном из промежутков оси длиной Г, а затем осуществить параллельный перенос этой ветви оси на Чаще всего в качестве такого промежутка длиной Т выбирают промежуток с концами в точках и о) или

Примеры периодических функций:

77. Монотонные функции.

Функция называется возрастающей на промежутке X, если для любых из выполняется неравенство Функция называется убывающей на промежутке X, если для любых из X,

таких, что , выполняется неравенство Иными словами, функция возрастает (убывает) на промежутке X, если, какие бы два значения аргумента, принадлежащие этому промежутку, ни взять, окажется, что большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.

При движении вдоль оси абсцисс слева направо ордината графика возрастающей функции увеличивается (рис. 13, а), а ордината графика убывающей функции уменьшается (рис. 13, б).

Возрастающие и убывающие функции объединяются термином «люнотонные функции.

Пример. Исследовать на монотонность функцию

Решение. Пусть Тогда по свойствам числовых неравенств (см. п. 24) имеем

Итак, а это значит, что функция возрастает на всей числовой прямой.