ГЛАВА IV. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ

§ 16. Координаты на плоскости и в пространстве

65. Введение координат на плоскости и в пространстве.

Проведем на плоскости через точку О две взаимно перпендикулярные прямые оси координат. Ось х (она обычно горизонтальная) называется осью абсцисс, а ось у — осью ординат. Точка пересечения этих осей О называется началом координат. Этой точкой каждая из осей разбивается на две полуоси. Условимся одну из называть положительной, отмечая ее стрелкой, а другую — отрицательной. На рисунке 188, а изображены оси точка О — начало координат.

Каждой точке А плоскости мы сопоставим пару чисел — координаты точки — абсциссу и ординату по такому правилу.

Через точку А проведем прямую» параллельную оси ординат (рис. 188, б). Она пересечет ось абсцисс в некоторой точке . Абсциссой точки А мы будем называть число абсолютная величина которого равна расстоянию от О до Это число положительное, еслн принадлежит положительной полуоси; отрицательное, если принадлежит отрицательной полуоси. Если точка лежит на оси ордниату, то полагаем

Ордината точки А определяется аналогично. Через точку А проведем прямую, параллельную оси абсцисс (рис. 188, б). Она пересечет ось ординат у в некоторой точке Ординатой точки А мы будем называть число абсолютная величина которого равна расстоянию от точки до О. Это число положительное, если принадлежит положительной полуось; отрицательное, если принадлежит отрицательной полуоси. Если точка А лежит на оси абсцисс, то полагаем

Координаты точки записываются в скобках рядом с буквенным обозначением точки, например (на первом месте абсцисса, на втором — ордината).

Оси координат разбивают плоскость на четыре части — четверти I, II, III, IV (рис. 188, в). В пределах одной четверти знаки обеих координат сохраняются. В первой четверти они положительны, во второй — абсцисса отрицательна, а ордината положительна, в третьей — абсцисса и ордината отрицательны, в четвертой — абсцисса положительна, а ордината отрицательна (рис. 188, в).

Точки оси имеют равные нулю ординаты , а точки оси у — равные нулю абсциссы Абсцисса и ордината начала координат равны нулю.

Плоскость, на которой введены описанным выше способом координаты х и у будем называть плоскостью Произвольную точку А этой плоскости с координатами и у обозначают .

Введенные на плоскости координаты у называются декартовыми по имени французского математика Р. Декарта (1596—1650).

Аналогично вводятся декартовы координаты в пространстве. Возьмем три попарно перпендикулярные прямые , которые

пересекаются в одной точке О (рис. 189, о). Проведем через каждую пару этих прямых плоскость. Плоскость, проходящая через прямые х и у, называется плоскостью Две другие плоскости называются соответственно Прямые называются координатными осями или осями координат, точка их пересечения О — началом координат, а плоскости координатными плоскостями. Точка О разбивает каждую из осей координат на две полупрямые. Одна из них называется положительной, а другая — отрицательной.

Если через точку А проведем плоскость, параллельную плоскости yz (рис. 189, б), то она пересекает ось в некоторой точке Координатой точки А будет число, равное по абсолютной величине длине отрезка Оно положительное, если точка лежит на положительной полуоси, и отрицательное, если она лежит на отрицательной полуоси. Если точка совпадает с точкой О, то Аналогично определяются координаты у и z. Точку А с координатами х, у, z обычно записывают так; (х; у; z).

Итак, каждой точке А пространства сопоставляют три числа x, у, z — координаты точки А в пространстве.

На рисунке 190, а точка В в пространстве имеет три координаты , т. е. .

Можно по трем числам найти положение точки в пространстве. Например, три числа задают положение точки С в пространстве (рис. 190, б).

66. Координаты середины отрезка. Расстояние между точками.

Пусть произвольные точки плоскости и середина отрезка АВ (рис. 191).

Формулы, связывающие координаты точки С с координатами точек А а В, таковы:

Формулы верны и в случае, если отрезок АВ параллелен одной осей координат.

Для точек А, В и С пространства эти формулы аналогичны. Пусть две произвольные точки. Формулы, выражающие координаты точки С — середины отрезка АВ через координаты его концов А и В, таковы:

Существует формула для нахождения расстояния между точками, заданными своими координатами.

Если точки лежат на плоскости, то расстояние между находится по формуле

Эта формула верна для любого расположения точек

Расстояние между двумя точками пространства находится по формуле

Пример 1. Найти координаты одного концов диаметра окружности, если другим его концом является точка (2; 3), а центром окружности — точка (0; 1).

Решение. Известно, что центр окружности является серединой любого диаметра, поэтому, подставив в формулы для нахождения координат точки (0; 1) середины отрезка координаты концов его (2; 3) и , получим:

откуда координаты другого конца диаметра.

Пример 2. Найти расстояние между точками плоскости

Решение. По формуле получим, что

Пример 3. Найти расстояние от точки пространства координатных плоскостей; 2) осей координат; 3) начала координат.

Решение. 1) Пусть и расстояние от А до плоскости , так как принадлежит плоскости Тогда по формуле Аналогично

2) Пусть — расстояние от А до оси тогда , откуда Аналогично

3) Так как , то