§ 15. Уравнения с двумя переменными

160. Решение уравнения с двумя переменными.

Рассмотрим уравнение с двумя переменными

Пара значений переменных, обращающая уравнение с двумя переменными в верное равенство, называется решением уравнения. Если дано уравнение с двумя переменными то принято в записи его решения на первое место ставить значение переменной а на второе — значение у.

Так, пары являются решениями уравнения . В то же время пара (1; 5) решением уравнения не является.

Это уравнение имеет и другие решения. Для их отыскания удобно выразить одну переменную через другую, например через у, получив уравнение Выбрав произвольное значение у, вычислим соответствующее значение X. Например, значит, пара решением уравнения; если то значит, пара (4; —2) также является решением заданного уравнения и т. д.

Уравнения с двумя переменными называются равносильными, если имеют одни и те же решения.

Для уравнений с двумя переменными справедливы теоремы 5.1 и 5.2 (см. п. 135) о равносильных преобразованиях уравнения.

161. График уравнения с двумя переменными.

Пусть даио уравнение с двумя переменными Если все его решения изобразить точками на координатной плоскости, то получится некоторое множество точек плоскости. Это множество называется графиком уравнения

Напрнмер, графиком уравнения является парабола графиком уравнения является прямая (биссектриса первого и третьего координатных углов, рис. 8); графиком уравнения является прямая, параллельная осн а), а графиком уравнения прямая, параллельная оси у (рис. 73, б). Графиком уравнения является одна точка (1; 2), так как координаты только этой точки удовлетворяют уравнению.

162. Линейное уравнение с двумя переменными и его график.

Уравнение вида где x, у — переменные, — числа, называется линейным; числа с и b называются коэффициентами при переменных, с — свободным членом.

Графиком любого линейного уравнения у которого хотя бы один коэффициентов при переменных отличен

от нуля, является прямая; если , то эта прямая параллельна оси у, если то эта прямая параллельна оси X.

Пример. Построить график уравнения

Решение. Графиком этого линейного уравнения является прямая. Для построения прямой достаточно знать две ее точки. Подставив в уравнение вместо значение 0, получим откуда Подставив в уравнение вместо у значение О, получим откуда

Итак, мы нашли две точки графика: . Проведя через них прямую, получим график уравнения

Если линейное уравнение имеет вид то могут представиться два случая:

1) ; в этом случае уравнению удовлетворяет любая пара , а потому графиком уравнения является вся координатная плоскость;

2) ; в этом случае уравнение не имеет решения, значит, его график не содержит ни одной точки.