Главная > Математика: Справ. материалы
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 13. Изображение пространственных фигур на плоскости

55. Параллельная проекция.

Для изображения пространственных фигур на плоскости обычно пользуются параллельным проектированием. Этот способ изображения фигуры состоит в следующем. Берем произвольную прямую l, пересекающую плоскость, на которую проектируется данная фигура, и проводим через произвольную точку А фигуры прямую, параллельную I. Точка пересечения А, этой прямой с плоскостью чертежа будет изображением точки А.

На рисунке 172 изображена параллельная проекция F фигуры F на плоскость а.

Такой способ изображения пространственной фигуры на плоскости соответствует зрительному восприятию фигуры при рассмотрении ее издали.

Параллельную проекцию некоторого объекта в природе представляет, например, его тень, падающая на плоскую поверхность земли при солнечном освещении (лучи солнца можно считать параллельными). На рисунке 173 изображена параллельная проекция рамы окна, освещенной солнечными лучами, на плоскость пола.

Из описанного построения изображения фигуры вытекают некоторые свойства этого изображения (изображаемые отрезки и прямые не параллельны направлению проектирования).

1. Проекция прямой есть прямая.

2. Проекция отрезка есть отрезок.

На рисунке 174 отрезок АС проектируется на плоскость а. Все прямые, проектирующие точки отрезка АС, лежат в одной плоскости, пересекающей плоскость чертежа по прямой Произвольная точка В отрезка АС изображается точкой отрезка Отрезок есть проекция отрезка АС на плоскость а. Еще раз отметим, что это утверждение справедливо, если проектируемый отрезок не параллелен направлению проектирования.

3. Параллельные отрезки фигуры изображаются на плоскости чертежа параллельными отрезками или отрезками, лежащими на одной прямой.

параллельные отрезки фигуры. Прямые АС и параллельны, так как они получаются в пересечении параллельных плоскостей с плоскостью а. Первая из этих плоскостей проходит через прямые АС и а вторая — через прямые Таким образом параллельные отрезки АС и переходят в параллельные отрезки

Отношение отрезков одной прямой или параллельных прямых сохраняется при параллельном проектировании.

Например, (рис. 174).

56. Ортогональное проектирование.

Пусть дана плоскость а, на которой нужно изобразить фигуру. При этом направление проектирования задано прямой l, перпендикулярной а (рис. 175). Такое проектирование называется ортогональным (прямоугольным) проектированием на плоскость.

Ортогональной проекцией широко пользуются в техническом черчении. За основу выполнения технических чертежей берется способ ортогонального проектирования фигуры на две плоскости: горизонтальную и вертикальную у (рис. 176). Проекции точки А на эти плоскости обозначают .

Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

На рисунке 177 дана ортогональная проекция на плоскость а. Проекцией треугольника ABC является треугольник

. По сформулированной теореме где — угол между плоскостью треугольника ABC и плоскостью проекции а, на рисунке 177 это

57. Геометрическое место точек в пространстве.

Геометрическим местом точек в пространстве называется фигура, которая состоит на всех точек пространства, обладающих определенным свойством.

Перечислим несколько геометрических мест точек в пространстве.

1. Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных точек А и В, является плоскость а, перпендикулярная прямой АВ и проходящая через середину отрезка АВ.

2. Геометрическим местом точек, отстоящих от данной плоскости а на расстоянии d, являются две плоскости, параллельные данной плоскости и находящиеся от нее на расстоянии

3. Геометрическим местом точек, удаленных на данном расстоянии d от данной точки О, является сфера с центром в точке О и радиусом

Пример 1. Найти в пространстве геометрическое место точек, равноудаленных от трех данных точек, не лежащих на одной прямой.

Решение. 1-й способ (рис. 178). Три данные точки А, В и С определяют плоскость а, в которой лежит . Мы знаем, что геометрическое место точек, равноудаленных от точек А и В, есть плоскость Р, перпендикулярная отрезку АВ и проходящая через середину D стороны АВ; аналогично для точек В и С таким геометрическим местом точек будет плоскость Q. Точки, принадлежащие линии пересечения MN плоскостей Р и Q, находятся на одинаковом расстоянии от точек А, В и С. Прямая MN — искомое геометрическое место точек.

Точка О пересечения прямой MN с плоскостью а принадлежит геометрическому месту, следовательно, она находится на равном расстоянии от точек А, В и С и является центром окружности, описанной около треугольника ABC. Далее, так как АВХР, то откуда .

Вывод; искомое геометрическое место точек — прямая, перпендикулярная плоскости, определяемой данными точками , и проходящая через центр окружности, описанной около

2-й способ (рис. 179). Пусть М — одна из точек искомого геометрического места точек, т. е. МА МО Наклонные МА, MB и МС равны, следовательно, равны и их проекции на плоскость а, т. е.

Отсюда следует: 1) О — центр окружности, описанной около А А ВС; 2) точки геометрического места проектируются в одну и ту же точку на плоскости а, следовательно, все они

лежат на перпендикуляре к плоскости а, проходящем через точку О.

Пример 2. Найти в пространстве геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных пересекающихся прямых.

Решение. Пусть АС и BD — данные прямые (рис. 180), Р — плоскость, ими определяемая. Пусть М — произвольная точка искомого геометрического места, т. е. . Опустим перпендикуляр MN на плоскость Р; тогда как проекции равных наклонных MF и ME на плоскость Р. Прямые АС и BD соответственно перпендикулярны наклонным, следовательно, они перпендикулярны их проекциям, т. е. . Мы видим, что проекция произвольной точки геометрического места точек на плоскость Р, определяемую данными прямыми, находится на одинаковом расстоянии от АС и BD. Как известно, геометрическим местом точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых на плоскости, являются две прямые КО и HL, которые делят углы, образованные данными прямыми АС и BD, пополам. Все точки перпендикуляра MN, очевидно, принадлежат геометрическому месту точек. Построим плоскость Q через прямые MN и КО. Эта плоскость по Т. 2.9 перпендикулярна плоскости Р. Все точки плоскости Q принадлежат искомому геометрическому месту точек.

Аналогично доказывается, что точки искомого геометрического места лежат также и на плоскости R, перпендикулярной плоскости Р. Плоскости Q и R перпендикулярны между собой, так как линейные углы KOL и КОН прямые.

Итак, искомым геометрическим местом точек являются две плоскости Q и А, перпендикулярные плоскости Р, причем плоскости Q и R перпендикулярны между собой и делят углы между данными прямыми пополам.

1
Оглавление
email@scask.ru