§ 7. Площади плоских фигур

36. Понятие площади простых фигур.

На плоскости вводится понятие площади простых фигур.

Фигура называется простой, если ее можно разбить на конечное число треугольников. Треугольник мы понимаем как треугольную область, т. е. конечную часть плоскости, ограниченную треугольником.

На рисунке 102 изображен выпуклый многоугольник ABCDE, который является простой фигурой, так как его можно разбить на треугольники ЕАВ, ЕВС, ECD.

Площадь простой фигуры — это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

1. Равные фигуры имеют равные площади.

2. Если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей ее частей.

3. Площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице.

37. Площади многоугольников. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле

где а и b — стороны прямоугольника. На рисунке 103 изображен прямоугольник ABCD, в котором Его площадь находится по формуле

Квадрат есть прямоугольник, у которого стороны равны (см. п. 26), а значит, площадь квадрата со стороной а равна т. е.

где а — его сторона. Площадь квадрата можно также вычислить по формуле

где d — диагональ квадрата.

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне, т. е. вычисляется по формуле

где а — сторона, h — высота, проведенная к этой стороне. На рисунке 104 изображен параллелограмм ABCD, в котором BE — его высота. Площадь параллелограмма равна произведению АВ на

Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле

где а и b — стороны, а — угол параллелограмма.

Ромб есть частный случай параллелограмма, следовательно, его площадь можно находить так же, как и площадь параллелограмма. Кроме того, имеются и другие формулы площади ромба:

где а — сторона ромба, а — угол ромба;

где диагонали ромба.

Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне, т. е. вычисляется по формуле

На рисунке 105, а изображен треугольник ABC, в котором BD — высота, т. е. площадь его находится по формуле

Для нахождения площади треугольника имеются и другие формулы:

где а и b — стороны а у — угол между этими сторонами. Иначе эту формулу можно записать так:

Следующая формула принадлежит Герону, древнегреческому ученому, жившему в I в. н. э. в г. Александрии:

где с — стороны треугольника, — его полу периметр,

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту:

где а и b — основания трапеции, h — высота.

На рисунке 106 изображена трапеция ABCD, в которой АВ и CD — ее основания, а высота. Площадь этой трапеции находится по формуле

Пример 1. Дан параллелограмм ABCD со стороной и диагональю см. Вершина D удалена от диагонали АС на 4 см. Вычислить расстояние от точки D до прямой АВ.

Решение. а так как то см.

Пример 2. Через центр О квадрата ABCD со стороной а проведена прямая I, пересекающая сторону АВ, но не проходящая через точки А и В. Выразить сумму расстояний от вершин В и С квадрата до прямой I через а и если b — длина отрезка прямой I, заключенного внутри квадрата.

Решение. Обозначим искомую сумму через с, тогда в силу центральной симметрии фигуры (рис. 108).

откуда