ГЛАВА VI. ВЕКТОРЫ

§ 21. Введение понятия вектора

79. Параллельный перенос.

Введем на плоскости декартовы координаты. Преобразование плоской фигуры F, при котором произвольная ее точка переходит в точку где а и b — постоянные, называется параллельным переносом на плоскости.

На рисунке 229 фигура получена из фигуры F параллельным переносом. Точка переходит при этом преобразовании в точку Параллельный перенос задается формулами Эти формулы выражают координаты точки , в которую переходит точка при параллельном поносе.

Параллельным переносом в пространстве называется такое преобразование, при котором произвольная точка фигуры F переходит в точку , где а, b и с — постоянные. Параллельный перенос в пространстве задается формулами .

На рисунке 230 призма при параллельном переносе переходит в призму

Сформулируем некоторые свойства параллельного переноса:

1. Параллельный перенос есть движение.

2. При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние.

3. При параллельном переносе прямая переходит в параллельную прямую (или в себя).

4. Каковы бы ни были две точки существует, и притом единственный, параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку

5. Преобразование, обратное параллельному переносу, есть

параллельный перенос. Композиция двух параллельных переносов есть параллельный перенос.

6. При параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную ей плоскость.

Пример 1. Прямые, которым принадлежат боковые стороны трапеции, перпендикулярны. Доказать, что отрезок, концами которого являются середины оснований трапеции, равен полуразности оснований.

Решение. Пусть AD и ВС — основания трапеции ABCD, М — середина ВС, N — середина AD. При параллельном переносе в направлении полупрямой ВМ на расстояние ВМ точка В переходит в точку М, точка А переходит в точку А и При параллельном переносе в направлении полупрямой СМ на расстояние СМ точка С переходит в точку М, точка D — в точку (рис. 231). Тогда

Складывая равенства (1) и (2), получаем:

Но значит,

Так как то MN — медиана образовавшегося прямоугольного треугольника Поэтому

Учитывая равенство (3), получаем:

80. Понятие вектора.

Некоторые физические величины, такие, как сила, скорость, ускорение и др., характеризуются не только числовым значением, но и направлением. В связи с этим указанные физические величины удобно изображать направленными отрезками.

Направленный отрезок называется вектором. Для обозначения векторов будем пользоваться строчными латинскими буквами . Иногда вектор обозначают указанием концов отрезка, изображающего вектор. Например, на рнсунке а изображен вектор АВ. Точка А называется началом, а точка В — концом вектора АВ. При обозначении вектора с помощью концов изображающего его отрезка на первом месте всегда ставится начало вектора. Над буквенным обозначением ставится стрелка или черта. Напрнмер, запись а читается: «Вектор а».

Две полупрямые называются одинаково направленными, если они совмещаются параллельным переносом, т. е. существует параллельный перенос, который переводит одну полупрямую в другую.

Если полупрямые одинаково направлены и полупрямые b к с одинаково направлены, то полупрямые а и с одинаково направлены.

На рисунке 232, б полупрямые АВ и CD одинаково направлены, CD и КМ тоже одинаково направлены, а значит, полупрямые АВ и КМ одинаково направлены.

Две полупрямые называются противоположно направленными, если каждая них одинаково направлена с полупрямой, дополнительной к другой.

Векторы АВ и CD называются одинаково направленными, если полупрямые АВ и CD одинаково направлены. Аналогично определяются противоположно направленные векторы.

Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Абсолютная величина вектора а обозначается

Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. Это означает, что существует параллельный перенос, который переводит начало и конец одного вектора соответственно в начало и конец другого вектора.

Равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине.

Обратно: если векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине, то они равны.

Начало вектора может совпадать с его концом. Такой вектор называют нулевым вектором. Нулевой вектор обозначается нулем с черточкой . О направлении нулевого вектора не говорят. Абсолютная величина нулевого вектора считается равной нулю. Все нулевые векторы по определению равны.

Из свойств параллельного переноса следует, что от любой точки можно отложить вектор, равный данному вектору, и только один.

Углом между ненулевыми векторами АВ и АС называется угол ВАС. Углом между любыми двумя векторами а и b называется угол между равными им векторами с общнм началом. Угол между одинаково направленными векторами считается равным нулю.

На рисунке 233 даны векторы а и b. Отложим от данной точки О векторы Тогда есть угол между векторами .

81. Координаты вектора.

Пусть вектор а на плоскости имеет началом точку а концом точку . Координатами вектора будем называть числа . Координаты вектора будем ставить рядом с буквенным обозначением вектора, в данном случае или просто . Координаты нулевого вектора равны нулю.

Из формулы расстояния между двумя точками (см. п. 66) следует, что абсолютная величина вектора равна

На рисунке 234 вектор АВ имеет координаты где и

В пространстве координатами вектора с началом в точке и концом в точке называются числа Можно доказать такую теорему:

Равные векторы имеют равные соответствующие координаты. И обратно: если у векторов соответствующие координаты равны, то векторы равны.