38. Площади подобных фигур.

Площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров.

Пусть даны два подобных треугольника . Если коэффициент подобия то линейные размеры треугольника в k раз больше соответствующих размеров

треугольника ABC. В частности; сторона и высота в k раз больше соответствующих сторон и высот ABC, т. е.

39. Площадь круга.

Формулы площади правильного многоугольника, описанного около круга (рис. 110), и правильною многоугольника, вписанного в круг (рис. 111), позволяют вывести формулу площади круга, радиус которого

Площадь круга вычисляется по формуле

где R — радиус круга.

Круговым сектором называется часть круга, лежащая внутри соответствующего центрального угла (рис. 112).

Площадь кругового сектора вычисляется по формуле

где R — радиус круга, а — градусная мера соответствующего центрального угла.

Круговым сегментом называется общая часть круга и полуплоскости, граница которой содержит хорду этого круга (рис. 113).

Площадь кругового сегмента, не равного полукругу, вычисляется по формуле

где — радиус круга, а — градусная мера центрального угла, который содержит дугу этого кругового сегмента, a SA — площадь треугольника с вершинами в центре круга и в концах радиусов, ограничивающих соответствующий сектор. Знак « + » надо брать, если , а знак « - », если (рис. 113, б).

Пример 1. Произвести необходимые измерения и вычислить площади фигур, изображенных на рисунке 114.

Решение, а) ДАВС правильный (рис. 114, а), точки К и L — середины его сторон, АКМ и CML — секторы, дуга каждого из которых содержит 60°. Поэтому

где а — сторона

Например, при

б) Считая, что АОВ — сектор с углом 120°, О — центр окружности (рис. 114, б), получим:

где R — радиус окружности.

Например, при

в) Считая, что дуга АОС (рис. 114, в) проходит через центр окружности О, а ее радиус равен радиусу окружности и получим:

где R — радиус окружности.

Например, при

Пример 2. Доказать, что сумма площадей двух заштрихованных луночек (рис. 115) равна площади прямоугольного треугольника ABC.

Решение. Обозначим катеты прямоугольного треугольника ABC через а и b, гипотенузу через с (рис. 115), а сумму площадей заштрихованных фигур через

По теореме Пифагора