ГЛАВА III. ТЕЛА В ПРОСТРАНСТВЕ

§ 11. Многогранники

47. Тело и его поверхность.

Изучая многоугольники, говорят о плоском многоугольнике, понимая под ним сам многоугольник и его внутреннюю область.

То же самое происходит и в стереометрии. По аналогии с понятием плоского многоугольника вводится понятие тела и его поверхности.

Точка геометрической фигуры называется внутренней, если существует шар с центром в этой точке, целиком принадлежащий этой фигуре. Фигура называется областью, если все

ее точки внутренние и если любые две ее точки можно соединить ломаной, целиком принадлежащей фигуре.

Точка пространства называется граничной точкой данной фигуры, если любой шар с центром в этой точке содержит как точки, принадлежащие фигуре, так и точки, не принадлежащие ей. Граничные точки области образуют границу области.

Телом называется конечная область вместе с ее границей. Граница тела называется поверхностью тела. Тело называется простым, если его можно разбить на конечное число треугольных пирамид.

Телом вращения в простейшем случае называется такое тело, которое плоскостями, перпендикулярными некоторой прямой (оси вращения), пересекается по кругам с центрами на этой прямой. Цилиндр, конус, шар являются примерами тел вращения.

48. Многогранные углы. Многогранники.

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей прямой. Полуплоскости называются гранями, а ограничивающая их прямая — ребром двугранного угла.

На рисунке 142 изображен двугранный угол с ребром а и гранями

Плоскость, перпендикулярная ребру двугранного угла, пересекает его грани по двум полупрямым. Угол, образованный этими полупрямыми, называется линейным углом двугранного угла. За меру двугранного угла принимается мера соответствующего ему линейного угла. Если через точку А ребра а двугранного угла провести плоскость у, перпендикулярную этому ребру, то она пересечет плоскости а и 0 по полупрямым линейный угол данного двугранного угла. Градусная мера этого линейного угла является градусной мерой двугранного угла. Мера двугранного угла не зависит от выбора линейного угла.

Трехгранным углом называется фигура, составленная из трех плоских углов Эти углы называются гранями трехгранного угла, а их стороны — ребрами. Общая вершина плоских углов называется вершиной трехгранного угла. Двугранные углы, образуемые гранями и их продолжениями, называются двугранными углами трехгранного угла.

Аналогично определяется понятие многогранного угла как фигуры, составленной из плоских углов Для многогранного угла определяются понятия граней, ребер и двугранных углов так же, как и для трехгранного угла.

Многогранником называют тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников (рис. 145).

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого многоугольника на его поверхности (рис. 145, а, б). Общая часть такой плоскости и поверхности выпуклого многогранника называется гранью. Грани выпуклого многогранника — выпуклые многоугольники. Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины — вершинами многогранника.

49. Призма. Параллелепипед. Куб.

Призмой называется многогранник» который состоит из двух плоских многоугольников, совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков» соединяющих соответствующие точки этих многоугольников. Многоугольники называются основаниями призмы, а отрезки, соединяющие соответствующие вершины, — боковыми ребрами призмы (рис. 146).

Так как параллельный перенос есть движение, то основания призмы равны. Так как при параллельном переносе плоскость переходит в параллельную плоскость (или в себя), то

у призмы основания лежат в параллельных плоскостях. Так как при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние, то у призмы боковые ребра параллельны и равны.

На рисунке 147, а изображена четырехугольная прнзма Плоские многоугольники ABCD и совмещаются соответствующим параллельным переносом и являются основаниями призмы, а отрезки АА являются боковыми ребрами призмы. Основания призмы равны (параллельный перенос есть движение и переводит фигуру в равную ей фигуру, п. 79). Боковые ребра параллельны и равны.

Поверхность призмы состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из параллелограммов. У каждого из этих параллелограммов две стороны являются соответствующими сторонами оснований, а две другие — соседними боковыми ребрами призмы.

На рисунке 147, с боковая поверхность призмы состоит из параллелограммов Полная поверхность состоит из оснований и указанных выше параллелограммов.

Высотой призмы называется расстояние между плоскостями ее оснований. Отрезок, который соединяет две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю призмы. Диагональным сечением призмы называется сечение ее плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

На рисунке 147, а изображена призма ее высота, одна из ее диагоналей. Сечение является одним из диагональных сечений этой призмы.

Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. В противном случае прнзма называется

наклонной. Прямая призма называется правильной, если ее основаниями являются правильные многоугольники.

На рисунке 147, а изображена наклонная призма, а на рисунке 147, б — прямая, здесь ребро перпендикулярно основаниям призмы. На рисунке 148 изображены правильные призмы, у них основаниями являются соответственно правильный треугольник, квадрат, правильный шестиугольник.

Бели основания призмы — параллелограммы, то она называется параллелепипедом. У параллелепипеда все грани — параллелограммы. На рисунке 147, а изображен наклонный параллелепипед, а на рисунке 147, б — прямой.

Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими. На рисунке 147, а грани противолежащие.

Можно доказать некоторые свойства параллелепипеда.

У параллелепипеда противоположные грани параллельны и равны.

Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.

Точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии.

Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом. У прямоугольного параллелепипеда все грани — прямоугольники.

Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.

Длины непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами или измерениями. У прямоугольного параллелепипеда три линейных размера.

Для прямоугольного параллелепипеда верна такая теорема:

В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его линейных размеров.

Например, в кубе с ребром а диагонали равны:

50. Пирамида.

Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника — основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания, — вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину с точками основания (рис. 150). Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами. На рисунке 150, а изображена пирамида SABCD. Четырехугольник ABCD — основание пирамиды, точка S — вершина пирамиды, отрезки SA, SB, SC и SD — ребра пирамиды.

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. На рисунке 150, a SO — высота пирамиды.

Пирамида называется -угольной, если ее основанием является

-угольник. Треугольная пирамида называется также тетраэдром.

На рисунке 151, а изображена треугольная пирамида, или тетраэдр, на рисунке 151, б — четырехугольная, на рисунке 151, в — шестиугольная.

Плоскость, параллельная основанию пирамиды и пересекающая ее, отсекает подобную пирамиду.

Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника. На рисунке 151 изображены правильные пирамиды. У правильной пирамиды боковые ребра равны; следовательно, боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.

По Т.3.4 плоскость а, параллельная плоскости 0 основания пирамиды и пересекающая пирамиду, отсекает от нее подобную пирамиду. Другая часть пирамиды представляет собой многогранник, который называется усеченной пирамидой. Грани усеченной пирамиды, лежащие в параллельных плоскостях называются основаниями усеченной пирамиды, остальные грани называются боковыми гранями. Основания усеченной пирамиды представляют собой подобные (более того, гомотетичные) многоугольники, боковые грани — трапеции. На рисунке 152 изображена усеченная пирамида

Усеченная пирамида, которая получается из правильной пирамиды, также называется правильной. Боковые грани правильной усеченной пирамиды — равные равнобокие трапеции, их высоты называются апофемами.

Пример. В тетраэдре ABCD ребро двугранный угол при ребре равен Найти величину двугранного угла при ребре АВ.

Решение. Пусть К — середина ребра АВ (рис. 153). Отрезок CD перпендикулярен двум пересекающимся прямым BD и AD плоскости ABD, а значит, по Т.2.9 ребро CD перпендикулярно плоскости ABD, откуда медиана равнобедренного треугольника ADB, а значит, и его высота, Следовательно, по а тогда Z. CKD — линейный угол двугранного угла при ребре АВ. Нетрудно найти его величину (сделайте это самостоятельно). Ответ:

51. Правильные многогранники.

Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Существует пять типов правильных выпуклых многогранников (рис. 154): правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. Про правильный тетраэдр и куб сказано раньше (п. 49, 50). В каждой вершине правильного тетраэдра и куба сходятся три ребра.

Грани октаэдра — правильные треугольники. В каждой его вершине сходятся по четыре ребра.

Грани додекаэдра — правильные пятиугольники. В каждой вершине сходятся по три ребра.

Грани икосаэдра — правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра и октаэдра в каждой вершине сходится по пять ребер.